АссистентНовый вопросИсторияОбласти знаний
Партнёрские проектыСпецпроектыСтать автором
Сменить язык
О РУВИКИ

Математическая абстракция

Математическая абстракция — это процесс выделения основных структур, закономерностей или свойств математического понятия, устранения зависимости от реальных объектов, с которыми оно могло быть изначально связано, и обобщения таким образом, чтобы оно имело более широкое применение или соответствие среди других абстрактных описаний эквивалентных явлений[1][2][3]. Другими словами, быть абстрактным — значит устранять контекст и применение[4]. Двумя из наиболее абстрактных областей современной математики являются теория категорий и теория моделей.

Описание

Многие области математики начинались с изучения задач реального мира, прежде чем были выявлены и определены их основные правила и понятия как абстрактные структуры. Например, геометрия возникла из вычисления расстояний и площадей в реальном мире, а алгебра — из методов решения задач арифметики.

Абстракция является непрерывным процессом в математике, и историческое развитие многих математических тем демонстрирует переход от конкретного к абстрактному. Например, первые шаги в абстракции геометрии были сделаны древними греками, а Начала Евклида — это самое раннее сохранившееся изложение аксиом планиметрии, хотя Прокл сообщает о более ранней аксиоматизации, выполненной Гиппократом Хиосским[5]. В XVII веке Декарт ввёл декартовы координаты, что позволило развить аналитическую геометрию. Дальнейшие шаги в абстракции были сделаны Лобачевским, Бойяи, Риманом и Гауссом, которые обобщили понятия геометрии и разработали неевклидовы геометрии. Позднее, в XIX веке, математики ещё больше обобщили геометрию, развив такие области, как геометрия в n-мерных пространствах, проективная геометрия, аффинная геометрия и конечная геометрия. Наконец, Феликс Кляйн в своей Эрлангенской программе выявил основную идею всех этих геометрий, определив каждую из них как изучение свойств, инвариантных относительно заданной группы симметрий. Такой уровень абстракции выявил связи между геометрией и абстрактной алгеброй[6].

В математике абстракция может быть полезна по следующим причинам:

  • Она выявляет глубокие связи между различными областями математики.
  • Известные результаты в одной области могут навести на гипотезы в другой, родственной области.
  • Техники и методы из одной области могут быть использованы для доказательства результатов в других смежных областях.
  • Закономерности, обнаруженные в одном математическом объекте, могут быть обобщены на другие подобные объекты того же класса.

С другой стороны, абстракция может быть и недостатком, поскольку высокоабстрактные понятия могут быть трудны для усвоения. Для математической зрелости и усвоения абстракций может потребоваться определённый опыт и уровень подготовки.

Бертран Рассел в книге The Scientific Outlook (1931) писал: «Обыденный язык совершенно не подходит для выражения того, что на самом деле утверждает физика, поскольку слова повседневной жизни недостаточно абстрактны. Только математика и математическая логика могут сказать так мало, как того требует физик»[7].

См. также

Примечания

  1. ↑ Бертран Рассел, The Principles of Mathematics, том 1 (стр. 219), упоминает «принцип абстракции».
  2. ↑ Robert B. Ash. A Primer of Abstract Mathematics. Cambridge University Press, 1998-01-01
  3. ↑ The New American Encyclopedic Dictionary. Edited by Edward Thomas Roe, Le Roy Hooker, Thomas W. Handford. Стр. 34
  4. ↑ Donaldson, Neil. Introduction to Group Theory : [англ.]. — P. 1.
  5. ↑ Краткое изложение Прокла Архивировано 23 сентября 2015 года.
  6. ↑ Torretti, Roberto (2019), Zalta, Edward N., ed., Nineteenth Century Geometry (Fall 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, <https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries/geometry-19th/>. Проверено 22 октября 2019. 
  7. ↑ Quotations by Russell. MacTutor History of Mathematics archive. Дата обращения: 22 октября 2019. Архивировано 17 января 2002 года.

Литература

  • Bajnok, Béla. An Invitation to Abstract Mathematics. — Springer, 2013. — ISBN 978-1-4614-6635-2.

Категории