АссистентНовый вопросИсторияОбласти знаний
Партнёрские проектыСпецпроектыСтать автором
Сменить язык
О РУВИКИ

Абстрактная ерунда

Абстрактная ерунда — в математике это выражение применяется к абстрактным методам, связанным с категорийной теорией и гомологической алгеброй. В более широком смысле, «абстрактная ерунда» может относиться к доказательству, основанному на категорийных методах, или даже к изучению самой категорийной теории[1].

Предпосылки

Грубо говоря, категорийная теория изучает общую форму, то есть категории математических теорий, не вдаваясь в их содержание. В результате математические доказательства, опирающиеся на идеи категорийной теории, часто кажутся вырванными из контекста, чем-то похожими на нон секвитур. Авторы иногда называют такие доказательства «абстрактной ерундой» как лёгкий способ предупредить читателя об их абстрактности. Обозначение рассуждения как «абстрактная ерунда» обычно не носит уничижительного характера[2], а используется в шутливой форме[3], с самоиронией[4], с любовью[5], или даже как комплимент к общности рассуждения. Александр Гротендик критиковал это понятие и отмечал:

Определённые идеи и конструкции в математике проявляют единообразие во многих областях, объединяемое категорийной теорией. Типичные методы включают использование классифицирующих пространств и универсальных свойств, применение леммы Йонеды, естественных преобразований между функторaми и диаграммной погони[6].

Когда можно предположить, что аудитория знакома с общей формой таких рассуждений, математики используют выражение «Это верно по абстрактной ерунде», вместо того чтобы подробно объяснять детали[1]. Например, можно сказать: «По абстрактной ерунде, произведения единственны с точностью до изоморфизма, если они существуют», вместо того чтобы доказывать, как эти изоморфизмы следуют из универсального свойства, определяющего произведение. Это позволяет опустить детали доказательства, которые считаются тривиальными или не дающими особого понимания, и сосредоточиться на действительно новых частях большого доказательства.

История

Термин появился до возникновения категорийной теории как самостоятельной области. Вспоминая совместную статью с Самуэлем Эйленбергом, в которой в 1942 году было введено понятие категории, Сондерс Мак-Лейн писал, что предмет тогда назывался «общей абстрактной ерундой»[3]. Этот термин часто используется для описания применения категорийной теории и её методов к менее абстрактным областям[7].

Считается, что термин был введён математиком Норманом Стинродом[8][4][5], который сам был одним из разработчиков категорийного подхода.

Примечания

  1. ↑ 1 2 Macura, Wiktor K. Abstract Nonsense (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. ↑ Michael Monastyrsky, Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal. Can. Math. Soc. Notes, March and April 2001, Volume 33, nos. 2 and 3. Online version available at http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf.
    «В алгебре термин „абстрактная ерунда“ имеет определённое значение без какого-либо уничижительного оттенка.»
  3. ↑ 1 2 Saunders Mac Lane. «The PNAS way back then». Proc. Natl. Acad. Sci. USA Vol. 94, pp. 5983-5985, June 1997.
    «Первая из этих статей — более яркий пример; в ней было введено весьма абстрактное понятие „категории“ — предмет, который тогда назывался „общей абстрактной ерундой“!»
  4. ↑ 1 2 Joseph Rotman, «An Introduction to Homological Algebra, by Charles A. Weibel» (book review), Bull. Am. Math. Soc., 33:4 (Oct. 1996) 473—476.
    «Самоироничный термин „общая абстрактная ерунда“ (принадлежащий Стинроду) был распространён Эйленбергом и Мак-Лейном, двумя из главных новаторов гомологической алгебры, чтобы подчеркнуть этот аспект предмета.»
  5. ↑ 1 2 Серж Ланг, «Алгебра», второе издание, Addison Wesley, 1984, с. 175
  6. ↑ Marquis, Jean-Pierre (2019), Zalta, Edward N., ed., Category Theory (Fall 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, <https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries/category-theory/>. Проверено 27 октября 2019. 
  7. ↑ An Application of Abstract Nonsense to Surface Area, Harriet Lord
  8. ↑ Colin McLarty, The Uses and Abuses of the History of Topos Theory, Br. J. Philos. Sci., 41 (1990) p 355.
    «Стинрод в шутку назвал категорийную теорию „абстрактной ерундой“ и сделал её центральной в своей аксиоматике гомологии»

Ссылки

Категории