Исследование функции

Одной из целей исследования является построение графика функции. Несмотря на то, что в настоящее время это легко выполнить, введя формулу функции в поисковый запрос Google, или воспользовавшись многочисленными программами и устройствами-графопостроителями, а также более мощными — системами аналитических вычислений, умение исследовать функцию и построить её график от руки по-прежнему является таким же необходимым элементом математического образования, как, например, умение считать и знание таблицы умножения^[1][2].

В ходе исследования находятся и выписываются по порядку многие параметры функции как объекта. Здесь приведён набор, из которого они обычно выбираются:

• Область определения, поведение функции вблизи граничных её точек.
• Область значений (легче находится после исследования монотонности), ограниченность сверху/снизу.
• Нули (корни) функции — точки, где она обращается в ноль.
• Промежутки постоянства знаков, знаки в них.
• Чётность/нечётность, периодичность.
• Непрерывность
  • Если есть — точки разрыва, их типы; вертикальные асимптоты.
• Первая производная, её нули (критические точки) или точки излома, если есть.
• Экстремумы: максимумы и минимумы.
• Промежутки монотонности.
• Вторая производная, её нули.
• Точки перегиба, промежутки выпуклости.
• Поведение на бесконечности, горизонтальные или наклонные асимптоты.

Проводится в несколько этапов.