Тригонометрические преобразования Фурье

Изначальная функция ${\displaystyle f(t)}$ может быть найдена по формуле

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}\cos(2\pi \nu t)d\nu +\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \nu t)d\nu .}$

Используя формулу сложения для косинуса, получим, что

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}(f(x+0)+f(x-0))=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cos \omega (t-x)f(t)dtd\omega ,}$,

где

${\displaystyle f(x+0)}$ и ${\displaystyle f(x-0)}$ — право- и левосторонние пределы соответственно.

Если функция ${\displaystyle f(t)}$ чётная, то часть формулы с синусом обращается в нуль, если ${\displaystyle f(t)}$ нечётная, то исчезает косинус.

Сегодня чаще используется формула синус- и косинус-преобразования Фурье в комплексном виде

${\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt.}$

Используя формулу Эйлера, получим

${\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{2\pi \nu t}-i\,\sin {2\pi \nu t})\,dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt-i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt={\frac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\frac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu ).}$