Закон Кюри

Закон Кюри постулирует, что при изменении температуры и постоянном внешнем поле, степень намагниченности парамагнетиков обратно пропорциональна температуре:

${\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}},}$ (1)

где в единицах Международной системе единиц (СИ): ${\displaystyle M}$ — получаемая намагниченность материала; ${\displaystyle B}$ — магнитное поле, измеренное в теслах; ${\displaystyle T}$ — абсолютная температура в кельвинах; ${\displaystyle C}$ — постоянная Кюри данного материала. Это соотношение, полученное экспериментально Пьером Кюри, выполняется только при высоких температурах или слабых магнитных полях. В обратном случае — то есть при низких температурах или при сильных полях — намагниченность не подчиняется этому закону.

Простые модели парамагнетиков основываются на предположении, что эти материалы состоят из частей или областей (парамагнетонов), которые не взаимодействуют друг с другом. Каждая область имеет собственный магнитный момент, который можно обозначить векторной величиной ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$. Энергия момента магнитного поля может быть записана следующим образом:

${\displaystyle E=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}.}$ (2)

Для того, чтобы упростить вывод, предположим, что каждая из областей рассматриваемого парамагнетика имеет два состояния момента, направление которого может совпадать с направлением магнитного поля или быть направленным в противоположную сторону. В данном случае возможны только два значения магнитного момента ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle -\mu }$ и два значения энергии: ${\displaystyle E_{0}=-\mu B}$ и ${\displaystyle E_{1}=\mu B.}$ При поиске магнитной восприимчивости парамагнетика определяется вероятность для каждой области оказаться в состоянии, сонаправленном магнитному полю. Другими словами, определяется математическое ожидание намагниченности материала ${\displaystyle \mu }$:

${\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu \over Z}\operatorname {sh} (\mu B\beta ),}$

где вероятность системы описывается распределением Больцмана, статистическая сумма ${\displaystyle Z}$ обеспечивает нормализацию вероятностей. Нормирующая функция для одной области может быть представлена следующим образом:

${\displaystyle Z=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\operatorname {ch} \left(\mu B\beta \right).}$

Таким образом, в двухспиновой модели мы имеем:

${\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu \operatorname {th} \left(\mu B\beta \right).}$

Используя полученное выражение для одной области, получаем намагниченность всего материала:

${\displaystyle M=N\left\langle \mu \right\rangle =N\mu \operatorname {th} \left({\mu B \over kT}\right).}$

Выведенная выше формула носит название уравнения Ланжевена для парамагнетиков. П. Кюри в ходе экспериментов обнаружил приближение к этому закону, которое выполнялось при высоких температурах и слабых магнитных полях. Предположим, что абсолютное значение температуры ${\displaystyle T}$ велико, а ${\displaystyle B}$ мало. В данном случае, иногда называемом режимом Кюри, величина аргумента гиперболического тангенса мала:

${\displaystyle \left({\mu B \over kT}\right)\ll 1.}$

И так как известно, что в случае ${\displaystyle |x|\ll 1}$ выполняется соотношение

${\displaystyle \operatorname {th} x\approx x,}$

получаем результат:

${\displaystyle \mathbf {M} (T\rightarrow \infty )={N\mu ^{2} \over k}{\mathbf {B} \over T},}$

где константа Кюри равна ${\displaystyle C=N\mu ^{2}/k.}$ Также следует отметить, что в противоположном случае низких температур и сильных полей ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N\mu }$ имеют тенденцию принимать максимальные значения, что соответствует случаю, когда все области имеют магнитный момент, совпадающий по направлению с магнитным полем.

В общем случае произвольного распределения направлений магнитных моментов формула становится несколько более сложной (см. англ. Brillouin function). Как только значение спина приближается к бесконечности, формула для магнитной восприимчивости принимает классический вид^[2].

Альтернативный подход предполагает, что парамагнетоны представляют собой области со свободно вращающимися магнитными моментами. В данном случае их положение определяется углами в сферических координатах, а энергия одной области представляется в виде:

${\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,}$

где ${\displaystyle \theta }$ — угол между направлением магнитного момента и направлением магнитного поля, которое, предположим, направлено вдоль координаты ${\displaystyle z}$. Соответствующая функция для одной области будет иметь вид:

${\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).}$

Как видно, в данном случае нет явной зависимости от угла ${\displaystyle \phi }$, и мы также можем осуществить замену переменной ${\displaystyle y=\cos \theta }$, что позволяет получить:

${\displaystyle Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \operatorname {sh} (\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}}$

Математическое ожидание компоненты ${\displaystyle z}$ будет соответствовать степени намагниченности, а остальные две обратятся в нуль после интегрирования по ${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].}$

Для упрощения вычислений запишем выражение в дифференциальной форме по переменной ${\displaystyle Z}$:

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over ZB}\partial _{\beta }Z,}$

что даёт:

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),}$

где ${\displaystyle L}$ носит название функции Ланжевена (см. Ланжевен):

${\displaystyle L(x)=\operatorname {cth} x-{1 \over x}.}$ (3)

Может показаться, что эта функция имеет сингулярность (разрыв) для маленьких значений ${\displaystyle x}$, но на самом деле разрыва нет, так как две сингулярные компоненты с противоположным знаком сохраняют непрерывность функции. На самом деле, её поведение при небольших значениях аргумента ${\displaystyle L(x)\approx x/3}$, что сохраняет действие закона Кюри, но со втрое ме́ньшим постоянным множителем-константой Кюри. В случае предела с больши́м значением аргумента применение этой функции также возможно.

Сохранение закона Кюри для парамагнетиков в слабом магнитном поле позволяет использовать их в качестве магнитных термометров^[3].