Градиентные методы

Градиентные методы — численные методы решения с помощью градиента задач, сводящихся к нахождению экстремумов функции.

Постановка задачи решения системы уравнений в терминах методов оптимизации

Задача решения системы уравнений:

$\left\{{\begin{array}{lcr}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&0\\\ldots &&\\f_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&0\end{array}}\right.$(1)

с $n$ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ эквивалентна задаче минимизации функции

$F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\equiv \sum _{i=1}^{n}|f_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n})|^{2}$ (2)

или какой-либо другой возрастающей функции от абсолютных величин $|f_{i}|$ невязок (ошибок) $f_{i}=f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$, $i=1,2,\ldots ,n$. Задача отыскания минимума (или максимума) функции $n$ переменных и сама по себе имеет большое практическое значение.

Для решения этой задачи итерационными методами начинают с произвольных значений $x_{i}^{[0]}(i=1,2,...,n)$ и строят последовательные приближения:

${\vec {x}}^{[j+1]}={\vec {x}}^{[j]}+\lambda ^{[j]}{\vec {v}}^{[j]}$

или покоординатно:

$x_{i}^{[j+1]}=x_{i}^{[j]}+\lambda ^{[j]}v_{i}^{[j]},\quad i=1,2,\ldots ,n,\quad j=0,1,2,\ldots$ (3)

которые сходятся к некоторому решению ${\vec {x}}^{[k]}$ при ${j\to \infty }$.

Различные методы отличаются выбором «направления» для очередного шага, то есть выбором отношений

$v_{1}^{[j]}:v_{2}^{[j]}:\ldots :v_{n}^{[j]}$.

Величина шага (расстояние, на которое надо передвинуться в заданном направлении в поисках экстремума) определяется значением параметра $\lambda ^{[j]}$, минимизирующим величину $F(x_{1}^{[j+1]},x_{2}^{[j+1]},\ldots ,x_{n}^{[j+1]})$ как функцию от $\lambda ^{[j]}$. Эту функцию обычно аппроксимируют её тейлоровским разложением или интерполяционным многочленом по трем-пяти выбранным значениям $\lambda ^{[j]}$. Последний метод применим для отыскания max и min таблично заданной функции $F(x_{1},x_{2},...,x_{n})$.

Градиентные методы

Основная идея методов заключается в том, чтобы идти в направлении наискорейшего спуска, а это направление задаётся антиградиентом: $-\nabla F$:

${\overrightarrow {x}}^{[j+1]}={\overrightarrow {x}}^{[j]}-\lambda ^{[j]}\nabla F({\overrightarrow {x}}^{[j]})$,

где $\lambda ^{[j]}$ выбирается:

• постоянной, в этом случае метод может расходиться;
• дробным шагом, то есть длина шага в процессе спуска делится на некое число;
• наискорейшим спуском: $\lambda ^{[j]}=\mathrm {argmin} _{\lambda }\,F({\vec {x}}^{[j]}-\lambda ^{[j]}\nabla F({\vec {x}}^{[j]}))$.

Метод наискорейшего спуска (метод градиента)

Основная статья: метод градиента

Выбирают $v_{i}^{[j]}=-{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}$, где все производные вычисляются при $x_{i}=x_{i}^{[j]}$, и уменьшают длину шага $\lambda ^{[j]}$ по мере приближения к минимуму функции $F$.

Для аналитических функций $F$ и малых значений $f_{i}$ тейлоровское разложение $F(\lambda ^{[j]})$ позволяет выбрать оптимальную величину шага

$\lambda ^{[j]}={\frac {\sum _{k=1}^{n}({\frac {\partial F}{\partial x_{k}}})^{2}}{\sum _{k=1}^{n}\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{k}dx_{h}}}{\frac {\partial F}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial F}{\partial x_{h}}}}}$, (5)

где все производные вычисляются при $x_{i}=x_{i}^{[j]}$. Параболическая интерполяция функции $F(\lambda ^{[j]})$ может оказаться более удобной.

Алгоритм

1. Задаются начальное приближение и точность расчёта ${\vec {x}}^{0}\!,\,\epsilon$
2. Рассчитывают ${\vec {x}}^{[j+1]}={\vec {x}}^{[j]}-\lambda ^{[j]}\nabla F\left({\vec {x}}^{[j]}\right)$, где $\lambda ^{[j]}=\mathrm {argmin} _{\lambda }\,F\left({\vec {x}}^{[j]}-\lambda ^{[j]}\nabla F\left({\vec {x}}^{[j]}\right)\right)$
3. Проверяют условие останова:
   • если $\left|{\vec {x}}^{[j+1]}-{\vec {x}}^{[j]}\right|>\epsilon$, то $j=j+1$ и переход к шагу 2;
   • иначе ${\vec {x}}={\vec {x}}^{[j+1]}$ и останов.

Метод покоординатного спуска Гаусса — Зейделя

Запрос «Покоординатный спуск»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Этот метод назван по аналогии с методом Гаусса — Зейделя для решения системы линейных уравнений. Улучшает предыдущий метод за счёт того, что на очередной итерации спуск осуществляется постепенно вдоль каждой из координат, однако теперь необходимо вычислять новые $\lambda \quad n$ раз за один шаг.

Алгоритм

1. Задаются начальное приближение и точность расчёта ${\vec {x}}_{0}^{0},\quad \varepsilon$
2. Рассчитывают $\left\{{\begin{array}{lcr}{\vec {x}}_{1}^{[j]}&=&{\vec {x}}_{0}^{[j]}-\lambda _{1}^{[j]}{\frac {\partial F({\vec {x}}_{0}^{[j]})}{\partial x_{1}}}{\vec {e}}_{1}\\\ldots &&\\{\vec {x}}_{n}^{[j]}&=&{\vec {x}}_{n-1}^{[j]}-\lambda _{n}^{[j]}{\frac {\partial F({\vec {x}}_{n-1}^{[j]})}{\partial x_{n}}}{\vec {e}}_{n}\end{array}}\right.$, где $\lambda _{i}^{[j]}=\mathrm {argmin} _{\lambda }\,F\left({\vec {x}}_{i-1}^{[j]}-\lambda ^{[j]}{\frac {\partial F({\vec {x}}_{i-1}^{[j]})}{\partial x_{i}}}{\vec {e}}_{i}\right)$
3. Проверяют условие остановки:
   • если $|{\vec {x}}_{n}^{[j]}-{\vec {x}}_{0}^{[j]}|>\varepsilon$, то ${\vec {x}}_{0}^{[j+1]}={\vec {x}}_{n}^{[j]},\quad j=j+1$ и переход к шагу 2;
   • иначе ${\vec {x}}={\vec {x}}_{n}^{[j]}$ и останов.

Метод сопряжённых градиентов

Основная статья: Метод сопряжённых градиентов

Метод сопряженных градиентов основывается на понятиях прямого метода многомерной оптимизации — метода сопряжённых направлений.

Применение метода к квадратичным функциям в $\mathbb {R} ^{n}$ определяет минимум за $n$ шагов.

Алгоритм

1. Задаются начальным приближением и погрешностью: ${\vec {x}}_{0},\quad \varepsilon ,\quad k=0$
2. Рассчитывают начальное направление: $j=0,\quad {\vec {S}}_{k}^{j}=-\nabla f({\vec {x}}_{k}),\quad {\vec {x}}_{k}^{j}={\vec {x}}_{k}$
3. ${\vec {x}}_{k}^{j+1}={\vec {x}}_{k}^{j}+\lambda {\vec {S}}_{k}^{j},\quad \lambda =\arg \min _{\lambda }f({\vec {x}}_{k}^{j}+\lambda {\vec {S}}_{k}^{j}),\quad {\vec {S}}_{k}^{j+1}=-\nabla f({\vec {x}}_{k}^{j+1})+\omega {\vec {S}}_{k}^{j},\quad \omega ={\frac {||\nabla f({\vec {x}}_{k}^{j+1})||^{2}}{||\nabla f({\vec {x}}_{k}^{j})||^{2}}}$
   • Если $||{\vec {S}}_{k}^{j+1}||<\varepsilon$ или $||{\vec {x}}_{k}^{j+1}-{\vec {x}}_{k}^{j}||<\varepsilon$, то ${\vec {x}}={\vec {x}}_{k}^{j+1}$ и останов.
   • Иначе
     • если $(j+1)<n$, то $j=j+1$ и переход к 3;
     • иначе ${\vec {x}}_{k+1}={\vec {x}}_{k}^{j+1},\quad k=k+1$ и переход к 2.

См. также

• Интерполяционные формулы
• Математическое программирование
  • Метод градиента
  • Метод сопряжённых градиентов
  • Прямые методы
• Формула Тейлора
• Численные методы
  • Численное решение уравнений
  • Метод Нелдера — Мида

Литература

• Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. — М.: Высш. шк., 1986.
• Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985.
• Коршунов Ю.М., Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972.
• Максимов Ю.А.,Филлиповская Е.А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М.: МИФИ, 1982.
• Максимов Ю.А. Алгоритмы линейного и дискретного программирования. — М.: МИФИ, 1980.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575-576.