Интерполяционные формулы

Функция ${\displaystyle f}$ может быть интерполирована на отрезке ${\displaystyle [x_{0},x_{n}]}$ интерполяционным многочленом ${\displaystyle P_{n}(x)}$, записанным в форме Лагранжа^[1]:

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})\ldots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\ldots (x_{k}-x_{n})}},}$

при этом ошибка интерполирования функции ${\displaystyle \ f(x)}$ многочленом ${\displaystyle \ P_{n}(x)}$^[2]:

${\displaystyle |f(x)-P_{n}(x)|\leq {\frac {\|f^{(n+1)}(x)\|}{(n+1)!}}\cdot \|\Pi _{n}(x)\|,\qquad \Pi _{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n}).}$

В пространстве вещественных непрерывных функций соответствующие нормы принимают вид:

${\displaystyle \|f^{(n+1)}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|f^{(n+1)}(x)|,\qquad \|\Pi _{n}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|\Pi _{n}(x)|.}$

Если точки ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\ldots ,x_{n}}$ расположены на равных расстояниях ${\displaystyle (x_{k}=x_{0}+kh)}$, многочлен ${\displaystyle P_{n}(x)}$ можно записать так^[3]:

${\displaystyle P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\Delta y_{0}+{\frac {t(t-1)}{2}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0}.}$

Здесь ${\displaystyle x_{0}+th=x}$, а ${\displaystyle \Delta ^{k}}$ — конечная разность порядка ${\displaystyle k}$. Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд. Её название указывает на то, что она содержит заданные значения ${\displaystyle f}$, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только справа от ${\displaystyle x_{0}}$. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений ${\displaystyle x}$, близких к ${\displaystyle x_{0}}$. При интерполировании функций для значений ${\displaystyle x}$, близких к ${\displaystyle x_{k}}$, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узлов^[4]:

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,C_{m}^{k}\,f(k)\right)}$

где ${\displaystyle C_{x}^{m}}$ — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, используя для этого разделённые разности. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой ${\displaystyle k}$-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы, что даёт ей преимущество в плане экономности вычислений^[5].

Если использовать набор узлов ${\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh}$, где ${\displaystyle k=-n,\;-n+1,\ldots ,-1,\;0,\;1,\ldots ,n}$, то с использованием формулы Ньютона можно получить формулу Стирлинга^[6]:

${\displaystyle P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\delta y_{0}+{\frac {t^{2}}{2}}\delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {t(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2})}{(2n-1)!}}\delta ^{2n-1}y_{0}+{\frac {t^{2}(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2})}{(2n)!}}\delta ^{2n}y_{0}.}$

Здесь ${\displaystyle t={\frac {x-x_{0}}{h}}}$, а ${\displaystyle \delta ^{k}}$ — центральная конечная разность порядка ${\displaystyle k}$.

Аналогичным образом можно получить формулу Бесселя, имеющую вид^[7]

${\displaystyle P_{n}(x_{0}+th)=y_{1/2}+\left(t-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{1/2}+{\frac {t(t-1)}{2}}\Delta ^{2}y_{1/2}+\cdots +{\frac {t(t^{2}-1)\cdots (t^{2}-(n-1)^{2})(t-n)}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{1/2}+{\frac {t(t^{2}-1)\cdots (t^{2}-(n-1)^{2})(t-n)(t-{\frac {1}{2}})}{(2n+1)!}}\Delta ^{2n+1}y_{1/2}.}$

Эта формула особенно удобна для интерполирования при ${\displaystyle t={\frac {1}{2}}}$, так как в этом случае все члены, содержащие конечные разности нечётного порядка, обращаются в ноль. Этот случай соответствует значению ${\displaystyle x=x_{0}+{\frac {1}{2}}h}$, то есть интерполяции «на середину»^[8].