Формула Валлиса

В 1655 году Джон Валлис предложил формулу для определения числа ${\displaystyle \pi }$:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {10}{9}}\cdot {\frac {10}{11}}\cdot \ldots }$

Дж. Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Исторически формула Валлиса имела значение как один из первых примеров бесконечных произведений.

Используется бесконечное произведение Эйлера для функции синуса:^[1]

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

Пусть ${\displaystyle x=\pi /2}$, тогда

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)=\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots \end{aligned}}}$

Это произведение сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа ${\displaystyle \pi }$ формула Валлиса мало пригодна. Однако она полезна в различных теоретических исследованиях, например при выводе формулы Стирлинга. Тем не менее, если в этой формуле слегка откорректировать концовку:

${\displaystyle \pi \approx \left[\prod _{n=1}^{m-1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}\right]\cdot \left[{\frac {2m}{2m-1}}\cdot \left({\frac {2m}{2m+1}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right]={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \left[{\frac {8}{7}}\cdot \left({\frac {8}{9}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right],}$

то скорость сходимости возрастёт примерно на пять порядков.