Атомарная функция

Простейшая атомарная функция ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ (читается: «ап от ${\displaystyle x}$»^[3])  является финитным бесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,y'(x)=y(2x+1)-y(2x-1)}$

с носителем ${\displaystyle \operatorname {supp} \operatorname {up} (x)=(-1,1),}$ которое удовлетворяет условию нормировки ${\displaystyle \operatorname {up} (0)=1}$ (доказано, что при указанной нормировке это решение существует и единственно)^[4].

Преобразование Фурье функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ имеет вид

${\displaystyle {\hat {\operatorname {up} }}(t)=\prod _{k=1}^{\infty }\operatorname {sinc} {\frac {t}{2^{k}}},}$

где ${\displaystyle \operatorname {sinc} =\sin {x}/x}$ — sinc-функция.

Функция ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ — чётная, возрастает на интервале ${\displaystyle [-1,\;0]}$, убывает на интервале ${\displaystyle [0,\;1],}$ а её график ограничивает над осью абсцисс единичную площадь. Кроме того, ${\displaystyle \operatorname {up} (1-x)=1-\operatorname {up} (x)}$ при ${\displaystyle x\in [0,\;1]}$. Таким образом, целочисленные сдвиги ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ образуют разбиение единицы:

${\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {up} (x-j)\equiv 1.}$

Значения ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ в двоично-рациональных точках вида ${\displaystyle 2^{-n}k}$ — рациональные числа. Функция ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ неаналитична ни в одной точке своего носителя. Для её вычисления нельзя использовать ряд Тейлора, однако существуют быстросходящиеся ряды специального вида, приспособленные для таких вычислений. Используются также разложения ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ в ряд Фурье, ряды по полиномам Лежандра, Бернштейна и др.

Атомарные функции бесконечно дробимы, то есть представимы в виде линейной комбинации сдвигов-сжатий финитных функций с произвольной длиной носителя (дробных компонент), и могут рассматриваться как аналоги B-сплайнов бесконечной гладкости, а также идейные предшественники вейвлетов. Хорошие аппроксимативные свойства функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ основаны на том факте, что с помощью линейной комбинации сдвигов-сжатий ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ можно представить алгебраический многочлен любой степени.

Атомарные функции ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ (при ${\displaystyle a>1}$) являются обобщением функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$. Соответствующие функционально-дифференциальные уравнения имеют вид

${\displaystyle {\frac {2}{a^{2}}}y'(x)=y(ax+1)-y(ax-1).}$

Таким образом, ${\displaystyle \operatorname {up} (x)\equiv \operatorname {h} _{2}(x).}$ Преобразование Фурье функции ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ имеет вид

${\displaystyle {\hat {\operatorname {h} _{a}}}(t)=\prod _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} {\frac {t}{a^{n}}},}$

следовательно, функции ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ есть бесконечнократные свёртки характеристических функций интервалов (прямоугольных функций), ширины которых убывают в геометрической прогрессии. Если в последнем выражении ограничиться конечным числом членов ${\displaystyle M}$ бесконечного произведения, получим преобразование Фурье совершенных сплайнов ${\displaystyle \operatorname {h} _{a,M}(x)}$ с рекуррентным функционально-дифференциальным выражением

${\displaystyle {\frac {2}{a^{2}}}\operatorname {h} '_{a,M}(x)=\operatorname {h} _{a,M-1}(ax+1)-\operatorname {h} _{a,M-1}(ax-1).}$

Нули преобразований Фурье функций ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ расположены регулярным образом в точках ${\displaystyle a\pi n}$ ${\displaystyle (n\neq 0)}$. В связи с этим любую непрерывную функцию ${\displaystyle f(x)}$ с финитным спектром ${\displaystyle (\operatorname {supp} {\hat {f}}=[-\Omega ,\Omega ])}$ можно разложить в ряд

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k\Delta ){\hat {\operatorname {h} _{a}}}\left[{\frac {a\pi }{\Delta }}(x-k\Delta )\right],}$

где ${\displaystyle a>2,\ 0<\Delta \leq \pi (a-2)/\Omega (a-1)}$^[5].

Данная формула обобщает известную теорему Котельникова^[5]; впервые она была предложена В. Ф. Кравченко и В. А. Рвачёвым^[6], а в дальнейшем развита Е. Г. Зелкиным, В. Ф. Кравченко и М. А. Басарабом^[7].

Атомарные функции впервые были введены в работе^[8] 1971 года. Обстоятельства появления функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ связаны с проблемой, поставленной в 1967 году В. Л. Рвачёвым и решённой В. А. Рвачёвым: найти такую финитную дифференцируемую функцию, что её график имел бы вид «горба» с одним участком возрастания и одним участком убывания, а график её производной состоял бы из «горба» и «ямы», причём последние были бы подобны «горбу» самой функции, т. e. представляли бы собой — с точностью до масштабного коэффициента — сдвинутую и сжатую копию графика исходной функции^[9].

Итоги начального этапа развития теории атомарных функций представлены в работе В. А. Рвачёва «Атомарные функции и их применение»^[10]. В ней дан подробный обзор работ по теории атомарных функций, доведённый до 1984 года, приведён список нерешённых задач теории атомарных функций, во многом определивший направления дальнейших исследований.

В настоящее время атомарные функции находят широкое применение в теории аппроксимации, численном анализе, цифровой обработке сигналов, вейвлет-анализе и других областях. Большой цикл работ по теории и применениям атомарных функций в различных физических приложениях опубликован В. Ф. Кравченко и представителями его научной школы^{[11][12][13][14][15][16][17][18][19][20][21][22][23]}.