Алгебра Хопфа

Алгебра Хопфа — ассоциативная и коассоциативная биалгебра H над полем ${\displaystyle K}$ вместе с ${\displaystyle K}$-линейным отображением ${\displaystyle S\colon H\to H}$ (называемым антиподом) таким, что следующая диаграмма коммутативна:

Здесь Δ — коумножение биалгебры, ∇ — её умножение, η — её единица и ε — её коединица. В обозначениях Свидлера, это свойство также может быть выражено как:

${\displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1\qquad \forall c\in H}$.

Приведённое определение можно обобщить на алгебры над кольцами (достаточно в определении заменить поле ${\displaystyle K}$ на коммутативное кольцо ${\displaystyle R}$).

Определение алгебры Хопфа двойственно самому себе (это отражено в симметрии приведённой диаграммы), в частности, пространство, двойственное к H (которое всегда можно определить, если H является конечномерным) автоматически является алгеброй Хопфа.

Антипод S иногда обязан иметь R-линейную инверсию, которая является автоматической в конечномерном случае, или если H коммутативна или кокоммутативна (или, вообще говоря, квазитреугольная).

Вообще говоря, S — антигомоморфизм^[1], так S² — гомоморфизм, который является поэтому автоморфизмом, если S было обратимо (как может требоваться).

Если ${\displaystyle S^{2}=Id}$, то алгебра Хопфа, как говорят, является запутанной (и основная алгебра с запутанностью — *-алгебра). Если H — конечномерная полупростая алгебра по полю характеристики ноль, коммутативная, или кокоммутативная, то это — запутанная алгебра.

Если биалгебра B допускает антипод S, то S единственен («биалгебра допускает самое большее 1 структуру алгебры Хопфа»)^[2].

Антипод — аналог к отображению инверсии на группе, которая посылает ${\displaystyle g}$ к ${\displaystyle g^{-1}}$^[3].

Подалгебра A алгебры Хопфа H является подалгеброй Хопфа, если она является подкоалгеброй H и антипод S отображает A в A. Другими словами, подалгебра Хопфа A — это подпространство в алгебре Хопфа, замкнутое относительно умножения, коумножения и антипода. Теорема Николса — Зеллер (Nichols — Zoeller) о свободности (1989) утверждает, что любой натуральный R-модуль имеет конечный ранг и свободен, если H конечномерна, что даёт обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп. Как следствие этой теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста.

Подалгебра Хопфа A называется правой нормальной подалгеброй алгебры Хопфа H, если она удовлетворяет условию стабильности, ${\displaystyle ad_{r}(h)(A)\subseteq A}$ для всех h из H, где присоединённое действие ${\displaystyle ad_{r}}$ определено как ${\displaystyle ad_{r}(h)(a)=S(h_{(1)})ah_{(2)}}$ для всех a из A и h из H. Точно так же подалгебра Хопфа K является левой нормальной в H если она инвариантна при левом сопряжении, определённом как ${\displaystyle ad_{\ell }(h)(k)=h_{(1)}kS(h_{(2)})}$ для всех k из K. Оба условия нормальности эквивалентны, если антипод S биективен. В этом случае говорят, что A = K является нормальной подалгеброй Хопфа.

Нормальная подалгебра Хопфа A в H удовлетворяет условию (равенства подмножеств H): ${\displaystyle HA^{+}=A^{+}H}$, где ${\displaystyle A^{+}}$ обозначает ядро коединицы K. Это условие нормальности подразумевает, что ${\displaystyle HA^{+}}$ — идеал Хопфа алгебры H (то есть является идеалом алгебры в ядре коединицы, коидеалом коалебры и устойчив под действием антипода). Как следствие, определена факторалгебра Хопфа ${\displaystyle H/HA^{+}}$ и эпиморфизм ${\displaystyle H\rightarrow H/A^{+}H}$, аналогично соответствующим конструкциям нормальных подгрупп и факторгрупп в теории групп^[4].

1. Групповая алгебра. Пусть G — группа. Алгебра R G — ассоциативная алгебра над R, с единицей. Если мы определим
2. Δ : R G → R G ⊗ R G, Δ(g) = g ⊗ g для любого g из G,
3. ε : R G → R, ε(g) = 1 для любого g из G,
4. S : R G → R G, S(g) = g⁻¹ для любого g из G,

то R G превращается в алгебру Хопфа.

1. Диаграмма китайских иероглифов — связный граф, имеющий лишь трёхвалентные вершины, с выделенным ориентированным циклом (петлёй Вильсона), и фиксированным циклическим порядком тройки рёбер, которые выходят из каждой вершины, не лежащей на петле Вильсона. Группа китайских диаграмм порядка ${\displaystyle i}$ — свободный ${\displaystyle G}$-модуль, порождённый ${\displaystyle 2i}$-вершинными диаграммами (которые рассматриваются с точностью до естественной эквивалентности), факторизованный по подмодулю, порождённому всевозможными ${\displaystyle STU}$-соотношениями^[5].

Алгебра когомологий группы Ли — алгебра Хопфа: умножение — стандартное произведение в кольце когомологий, а коумножение имеет вид

${\displaystyle H^{*}(G)\rightarrow H^{*}(G\times G)\cong H^{*}(G)\otimes H^{*}(G)}$

в силу умножения группы ${\displaystyle G\times G\rightarrow G}$. Это наблюдение было фактически источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли.

Теорема Хопфа^[6] Пусть A — конечномерная градуированно-коммутативная кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда A (как алгебра) — свободная внешняя алгебра с генераторами нечётной степени.

Все примеры выше являются либо коммутативными (то есть умножение коммутативное), либо кокоммутативными (то есть Δ = T ∘ Δ, где T : H ⊗ H → H ⊗ H есть перестановка тензорных сомножителей, определённая как T(x ⊗ y) = y ⊗ x). Другими интересными примерами алгебр Хопфа — некоторые деформации, или «квантования», примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют «квантовыми группами». Идея состоит в следующем: обычная алгебраическая группа может быть описана в терминах алгебры Хопфа регулярных функций. Мы можем тогда думать о деформации этой алгебры Хопфа как об описании некоторой «квантованной» алгебраической группы (хотя она и не является алгебраической группой ни в каком смысле). Многие свойства алгебраических групп, а также конструкции с ними имеют свои аналоги в мире деформированных алгебр Хопфа. Отсюда название «квантовая группа».

Группы могут быть аксиоматизированы при помощи тех же диаграмм (эквивалентностей, операций), что и алгебры Хопфа, где H — множество, а не модуль. В этом случае:

• поле R заменено множеством из 1 элемента;
• есть естественная коединица (отображение в единственный элемент);
• есть естественное коумножение (диагональное отображение);
• единица — нейтральный элемент группы;
• умножение — умножение в группе;
• антипод — взятие обратного элемента в группе.

В этом смысле о группах можно думать как о алгебрах Хопфа над полем из одного элемента.