H-пространство

H-пространство - пара, состоящая из топологического пространства ${\displaystyle P}$ с отмеченной точкой и непрерывного отображения ${\displaystyle \mu :P\times P\rightarrow P}$(называемого умножением), для которого постоянное отображение в отмеченную точку ${\displaystyle c:P\longrightarrow P}$ служит гомотопической единицей (т.е. каждая из композиций

${\displaystyle P{\overset {(c,1)}{\rightarrow }}P\times P{\overset {\mu }{\rightarrow }}\quad {\text{и}}\quad P{\overset {(1,c)}{\rightarrow }}P\times P{\overset {\mu }{\rightarrow }}P}$

гомотопна тождественному отображению).

• Каждая топологическая группа является H-пространством.
• Для произвольного топологического пространства ${\displaystyle X}$ пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{X}}$ всех непрерывных отображений ${\displaystyle X\to X}$, гомотопных тождественному, является H-пространством.
  • При этом ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {H}}_{X}\times {\mathcal {H}}_{X}\to {\mathcal {H}}_{X}}$ можно определить как композицию ${\displaystyle \mu (f,g)=f\circ g}$.

• Среди сфер, только ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}$, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ и ${\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}$ являются H-пространствами. При этом
  • Каждое из этих пространств образует подмножество элементов с единичной нормой среди  вещественных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов соответственно.
  • ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}$, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ и ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ являются группами Ли, а ${\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}$ — нет.

• Фундаментальная группа H-пространства является абелевой.