Теорема Виета

Франсуа Виет (1540—1603) — французский математик, основоположник символической алгебры. Он первым начал использовать буквы для обозначения не только неизвестных, но и коэффициентов уравнений^[1]. Теорема, носящая его имя, была впервые сформулирована в его трудах и стала важным инструментом для решения уравнений высших степеней.

Стандартный вид квадратного уравнения:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$

где ${\displaystyle a,b,c}$ — числа (коэффициенты), причём ${\displaystyle a\neq 0}$. В этом уравнении:

• ${\displaystyle x}$ — переменная;
• ${\displaystyle a}$ — старший (первый) коэффициент;
• ${\displaystyle b}$ — второй коэффициент;
• ${\displaystyle c}$ — свободный член^[1].

Если приведённое квадратное уравнение ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ (где ${\displaystyle a=1}$) имеет корни ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$, то их сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену^[1]:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}\cdot x_{2}=q.\end{cases}}}$

Для полного квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}.\end{cases}}}$

Используя теорему Виета, можно определить знаки корней квадратного уравнения^[4]:

• Если свободный член ${\displaystyle q>0}$, корни имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные). Знак совпадает с обратным знаком второго коэффициента ${\displaystyle p}$.
• Если свободный член ${\displaystyle q<0}$, корни имеют разные знаки.

Пример 1. Решить уравнение ${\displaystyle x^{2}-5x+6=0}$.

Решение: По теореме Виета: ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=5,\quad x_{1}x_{2}=6}$. Подбором находим корни: ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 3}$.

Пример 2. Решить уравнение ${\displaystyle 9x^{2}-9x+2=0}$.

Решение: Разделим на ${\displaystyle a=9}$: ${\displaystyle x^{2}-x+{\frac {2}{9}}=0}$. Сумма корней равна 1, произведение ${\displaystyle {\frac {2}{9}}}$. Корни: ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ и ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$.

Для приведённого кубического уравнения ${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0}$ с корнями ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ справедливы формулы^[5]:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-a,\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=b,\\x_{1}x_{2}x_{3}=-c.\end{cases}}}$

Для уравнения ${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{0}=0}$ с корнями ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$:

${\displaystyle a_{n-k}=(-1)^{k}\sum _{1\leq i_{1}<\dots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\dots x_{i_{k}}}$^[5].

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ: Теорема Виета

Ключевые формулы: ${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}\cdot x_{2}=q\end{cases}}}$ — теорема Виета для приведённого квадратного уравнения ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$; ${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}\end{cases}}}$ — для полного квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$.

Обратная теорема: если ${\displaystyle m+n=-p}$ и ${\displaystyle mn=q}$, то ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ — корни уравнения ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$.

Определение знаков корней: • если ${\displaystyle q>0}$, корни одного знака (оба ${\displaystyle +}$ или оба ${\displaystyle -}$); • если ${\displaystyle q<0}$, корни разных знаков.

Обобщение для кубического уравнения: ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-a}$, ${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=b}$, ${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=-c}$ для ${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0}$.

Типичные ошибки: • забывают сменить знак у суммы корней (${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p}$, а не ${\displaystyle p}$); • применяют формулы для неприведённого уравнения без деления на ${\displaystyle a}$; • игнорируют дискриминант (теорема Виета работает только при ${\displaystyle D\geq 0}$ для вещественных корней).

Совет: в заданиях ЕГЭ/ОГЭ теорема Виета помогает решать квадратные уравнения устно, находить сумму и произведение корней без вычислений и составлять уравнения по заданным корням.