Уравнение

Самые ранние из дошедших до нас записанных задач, сводящихся к решению уравнений, относятся к древнешумерскому периоду и датируются III–II тысячелетиями до н. э. К эпохе старовавилонского царства (начало II тысячелетия до н. э.) вавилонские писцы умели решать все виды квадратных уравнений ${\displaystyle x^{2}+px=q}$, ${\displaystyle x^{2}=px+q}$, ${\displaystyle x^{2}+q=px}$ с положительными коэффициентами и положительными корнями, используя для этого правило, эквивалентное современной формуле корней, а также отдельные виды кубических уравнений и простейшие системы двух уравнений с двумя неизвестными, в том числе приводящиеся к уравнениям для суммы и произведения двух чисел^[2].

Уравнения записывались полностью словесно, неизвестная обозначалась термином, буквально означавшим «длина» или «сторона» (при решении геометрических задач), для решения кубических уравнений использовались готовые таблицы кубов и кубических корней. Вавилоняне не использовали отрицательные и нулевые корни, отбрасывая их как не имеющие физического смысла^[3].

В древнеегипетских математических текстах, самым известным из которых является папирус Райнда (ок. 1650 г. до н. э.), представлены задачи на линейные уравнения вида ${\displaystyle ax=b}$, а также простейшие квадратные уравнения, возникавшие при расчёте площадей и объёмов, распределении продуктов и расчёте времени. Неизвестная величина обозначалась иероглифом ахе — «куча», а основным методом решения был метод ложного положения: предполагалось произвольное пробное значение неизвестной, после чего результат вычисления сравнивался с заданным значением и ответ получался пропорциональным пересчётом ^[4].Как и вавилоняне, египетские писцы не рассматривали отрицательные корни и использовали исключительно положительные единичные дроби.

В классическом трактате «Математика в девяти книгах» (Цзю чжан суань шу, окончательная редакция I век н. э., материалы восходят к началу нашей эры) уже содержатся задачи на системы линейных уравнений с количеством неизвестных до 5, а также квадратные уравнения и задачи, сводящиеся к извлечению кубического корня. Для решения линейных систем китайские математики использовали правило фан-чэн («правило таблиц»), представляющее собой прообраз метода исключения Гаусса, появившегося в Европе почти на два тысячелетия позже: коэффициенты при неизвестных и свободные члены выкладывались счётными палочками в виде прямоугольной таблицы, после чего над строками проводились эквивалентные преобразования до приведения системы к треугольному виду. В трактате впервые в истории математики вводятся отрицательные числа и формальные правила операций с ними при решении уравнений^[5].

В эпоху династии Сун (X–XIII века н. э.) китайские математики Цинь Цзюшао и Ли Е разработали методы решения уравнений высших степеней до 10-й включительно с числовыми коэффициентами, по структуре близкие к методу Горнера, известному в Европе с начала XIX века^[6].

Индийские математики в V–XII веках н. э. добились значительных успехов в решении неопределённых (диофантовых) уравнений в целых числах. Брахмагупта в трактате «Брахма-спхута-сиддханта» (628 г. н. э.) дал полное правило решения линейных неопределённых уравнений вида ${\displaystyle ax+by=c}$ в целых числах, эквивалентное современному алгоритму с использованием расширенного алгоритма Евклида, а также описал частные решения уравнения Пелля ${\displaystyle ax^{2}+1=y^{2}}$ и первым признал отрицательные корни квадратных уравнений, формализовав правила знаков при умножении и делении. Бхаскара II в XII веке обобщил результаты Брахмагупты и дал метод решения произвольных квадратных уравнений с учётом отрицательных и иррациональных корней, а также построил общую теорию уравнения Пелля^[7].Как и у более ранних цивилизаций, запись у индийцев была преимущественно словесной, с использованием отдельных стандартных сокращений для неизвестных и операций.

Древнегреческие математики разработали геометрическую трактовку уравнений: решение любого уравнения отождествлялось с построением отрезка заданной длины с помощью циркуля и линейки. В книгах II и VI «Начал» Евклида (III век до н. э.) геометрически сформулированы и доказаны тождества, эквивалентные решению квадратных уравнений и основным алгебраическим формулам сокращённого умножения; при этом греки не работали с иррациональными числами как с числами, рассматривая их как геометрические величины (отрезки, площади, объёмы). Архимед решал отдельные виды кубических уравнений при решении задач вычисления объёмов и площадей фигур, а Герон Александрийский в I веке н. э. впервые стал использовать приближённые арифметические методы решения уравнений вместо геометрических построений. ^[8][9].

Переломным этапом стало творчество Диофанта Александрийского (III век н. э.), чей трактат «Арифметика» стал первой в античности работой, посвящённой исключительно решению алгебраических уравнений. Диофант ввёл первые буквенные обозначения для неизвестной, её степеней и знака минус, решал квадратные уравнения и системы уравнений, а также большое количество неопределённых уравнений в рациональных числах, за что такие уравнения позднее получили название диофантовых. При этом Диофант отбрасывал отрицательные и иррациональные корни как не имеющие смысла^[10][11].

Трактат среднеазиатского математика Мухаммеда ибн Мусы аль-Хорезми «Краткая книга об исчислении аль-джебр и аль-мукабала» (ок. 825 г. н. э.) стал первой в Средние века специализированной работой, посвящённой классификации и методам решения уравнений. От термина аль-джебр (буквально «восполнение», операция переноса отрицательных членов уравнения из одной части равенства в другую с изменением знака) произошло современное слово «алгебра». Аль-Хорезми выделил 6 стандартных типов линейных и квадратных уравнений с положительными коэффициентами (так как он не признавал отрицательных чисел), для каждого из которых сформулировал чёткое правило решения и дал его геометрическое обоснование.

В XI–XII веках поэт и математик Омар Хайям в трактате «О доказательствах задач алгебры и аль-мукабалы» дал первую систематическую классификацию всех видов кубических уравнений и показал, что в общем случае они не могут быть решены с помощью циркуля и линейки. Хайям разработал геометрический метод решения положительных корней кубических уравнений через точки пересечения конических сечений (окружностей, парабол, гипербол), но не нашёл их алгебраического решения в радикалах. В XIII веке Насир ад-Дин ат-Туси впервые отделил алгебру от геометрии как самостоятельную науку^[12].

В XII–XIII веках арабские математические трактаты были переведены на латынь, и методы решения уравнений стали изучаться в европейских университетах. В книге «Книга абака» (1202) Леонардо Пизанский (Фибоначчи) изложил методы решения линейных и квадратных уравнений, известные от арабов, а также предложил собственные методы решения отдельных видов кубических уравнений, возникающих в торговых расчётах. В течение XIII–XV веков европейские математики постепенно перешли от словесной записи уравнений к сокращённой, начали использовать знак равенства и специальные символы для операций^[13][14][15]..

Ключевым событием XVI века стало открытие алгебраического решения кубических уравнений. Примерно в 1515 году профессор Болонского университета Сципион дель Ферро нашёл формулу для решения усечённого кубического уравнения вида ${\displaystyle x^{3}+px=q}$, но не опубликовал результат; в 1535 году Никколо Тарталья независимо переоткрыл это решение и обобщил его на все виды кубических уравнений. В 1545 году ученик Тартальи Джероламо Кардано опубликовал это решение в своём знаменитом труде «Великое искусство, или О правилах алгебры» (Ars Magna), после чего формула для корней кубического уравнения получила его имя. В той же книге Кардано опубликовал и решение уравнений четвёртой степени, найденное его учеником Лодовико Феррари. При анализе формулы для кубического уравнения Кардано впервые столкнулся с необходимостью оперировать мнимыми (комплексными) числами в случае, известном как неприводимый случай, когда при трёх действительных корнях по формуле получаются выражения с корнями из отрицательных чисел; Кардано назвал такие величины «столь же обманчивыми, сколь и бесполезными», но привёл правила действий с ними. ^[16][17].

В конце XVI века Франсуа Виет ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных (для которых он использовал заглавные гласные буквы), но и для параметров уравнений (заглавные согласные), что позволило записывать уравнения в общем виде и формулировать общие правила их решения. Виет установил соотношения между коэффициентами многочлена и его корнями (формулы Виета), правда, только для случая положительных корней^[18].

В древнерусских рукописных сборниках XI–XVII веков задачи на уравнения встречаются в составе учительных текстов и хозяйственных руководств, в основном это линейные уравнения, решаемые методом ложного положения и его модификацией — методом двух ложных положений, для практических расчётов дани, таможенных сборов, стоимости товаров и календарных вычислений. В начале XVIII века Леонтий Магницкий в своём учебнике «Арифметика» (1703) изложил в том числе современные для того времени методы решения квадратных уравнений и систем линейных уравнений, с большим количеством практических примеров для моряков, купцов и геодезистов^[19].

В 1637 году Рене Декарт в своём трактате «Рассуждение о методе» (в приложении «Геометрия») ввёл современную стандартную символику алгебры: латинские буквы x, y, z для неизвестных величин и a, b, c для коэффициентов уравнений, современную запись степеней, знаки операций и равенства, и фактически создал привычный сегодня вид записи уравнений. Декарт сформулировал основной тезис, позднее ставший основной теоремой алгебры: уравнение степени n имеет ровно n корней, включая отрицательные («ложные», по его терминологии) и мнимые. Пьер Ферма в это же время внёс фундаментальный вклад в развитие аналитической геометрии и теории чисел, исследуя задачи на экстремумы и касательные, а также получил ряд выдающихся результатов в теории диофантовых уравнений, включая формулировку своей знаменитой Великой теоремы. В конце XVII века Исаак Ньютон разработал универсальный метод последовательных приближений для численного решения нелинейных уравнений, известный как метод Ньютона^[20].

В XVIII веке Леонард Эйлер систематизировал теорию алгебраических уравнений, закрепил общепринятое обозначение мнимой единицы ${\displaystyle i}$, доказал, что любое уравнение с действительными коэффициентами разлагается в произведение линейных и квадратных множителей с действительными коэффициентами, и заложил основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, разработав методы их решения для задач механики и небесной механики. Жозеф-Луи Лагранж в работе «Размышления об алгебраическом решении уравнений» (1771) проанализировал все известные к тому времени методы решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней с помощью резольвент (специальных вспомогательных уравнений) и показал, что эти методы не могут быть обобщены на уравнения 5-й степени и выше, поставив таким образом вопрос об их неразрешимости в радикалах. В 1799 году Карл Фридрих Гаусс дал первое строгое доказательство основной теоремы алгебры: любой многочлен с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень, из чего следует, что он полностью разлагается на линейные множители над полем комплексных чисел^[21][22].

В первой трети XIX века произошла революция в теории уравнений, связанная с работами Нильса Хенрика Абеля и Эвариста Галуа. В 1824 году Абель строго доказал, что общее алгебраическое уравнение пятой степени и выше не может быть решено в радикалах (теорема Абеля — Руффини), то есть не существует общей формулы, выражающей его корни через коэффициенты с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня произвольной степени. В 1830–1832 годах Эварист Галуа, развивая идеи Лагранжа и Абеля, создал теорию групп, с помощью которой дал точный критерий разрешимости конкретных уравнений в радикалах: уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа перестановок корней (группа Галуа) является разрешимой. Работы Галуа положили начало современной абстрактной алгебры и теории полей, и показали ограниченность радикальных методов решения уравнений^[23].

В XIX веке также была завершена формализация методов решения систем линейных уравнений: были введены определители (Габриэль Крамер, Александр Теофил Вандермонд), понятие матрицы (Артур Кэли), получил современную форму метод исключения Гаусса, были разработаны первые итерационные методы решения больших линейных систем. Была создана теория устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений (Александр Ляпунов), заложены основы теории уравнений математической физики. В 1874 году Софья Ковалевская доказала теорему существования и единственности аналитических решений для широкого класса уравнений в частных производных (теорема Коши — Ковалевской). Позднее, в 1888 году, за решение задачи о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки она была удостоена премии Парижской академии наук^[24].

В конце XIX — начале XX века в центре внимания математиков оказались диофантовы уравнения и предельные возможности алгоритмических методов их решения. В 1900 году Давид Гильберт сформулировал свой знаменитый список из 23 математических проблем (проблемы Гильберта), из которых десятая была посвящена диофантовым уравнениям: требовалось найти универсальный алгоритм, который по заданному диофантову уравнению с целыми коэффициентами позволяет определить, существует ли у него решение в целых числах. Отрицательный ответ на эту проблему был получен в 1970 году советским математиком Юрием Матиясевичем (теорема Матиясевича), опиравшимся на более ранние работы Мартина Дэвиса, Хилари Патнэма и Джулии Робинсон: было доказано, что такого универсального алгоритма в принципе не существует^[25].

В XX веке в связи с появлением и распространением электронных вычислительных машин бурно развились численные методы решения уравнений всех типов. Были созданы эффективные алгоритмы решения систем линейных уравнений с миллионами неизвестных (в том числе метод сопряжённых градиентов, многосеточные методы), методы конечных разностей и конечных элементов для решения уравнений в частных производных, итерационные методы решения нелинейных уравнений и их систем. Эти алгоритмы легли в основу современного инженерного моделирования, расчёта конструкций, аэродинамики, ядерной физики, экономических моделей, компьютерной графики и машинного обучения. ^[26].

Развитие квантовой механики, теории поля и других разделов теоретической физики в XX веке привело к появлению и изучению новых классов уравнений в частных производных, включая уравнение Шрёдингера, уравнение Дирака, уравнения общей теории относительности Эйнштейна и нелинейные уравнения солитонной теории. В алгебре и теории чисел продолжились исследования алгебраических уравнений над конечными полями, имеющие важное прикладное значение в современной криптографии.

Равносильными (эквивалентными) называются уравнения, множества корней которых совпадают. Отношение эквивалентности уравнений обладает свойствами:

• рефлексивность — любое уравнение эквивалентно самому себе.
• симметричность — если первое уравнение эквивалентно второму, то второе эквивалентно первому.
• транзитивность — если первое уравнение эквивалентно второму, а второе — третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему.

Важное свойство: если функции ${\displaystyle f,g}$ заданы над областью целостности и имеют общую область определения, то уравнение ${\displaystyle f(x)\cdot g(x)=0}$ эквивалентно совокупности:

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}f(x)=0\\g(x)=0\end{smallmatrix}}\right.}$

при условии, что все найденные корни входят в область определения обеих функций^[27].

При решении используются операции, сохраняющие эквивалентность:

• к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение (или из обеих частей вычесть одно и то же выражение), если оно имеет смысл на всей области ОДЗ исходного уравнения. Если прибавляемое выражение теряет смысл в точках, являющихся корнями, эквивалентность нарушается;
• обе части уравнения можно умножить или делить на одно и то же число, отличное от нуля;
• возведение обеих частей в квадрат (или любую другую чётную степень) может привести к появлению посторонних корней^[28].

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида ${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$, где ${\displaystyle P}$ — многочлен.

• Линейные уравнения — уравнения первой степени. В канонической форме: ${\displaystyle ax=b}$.

Пример: ${\displaystyle x+3=2x}$ (решение ${\displaystyle x=3}$).

• Квадратные уравнения — уравнения второй степени вида ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ (${\displaystyle a\neq 0}$). Для решения используется дискриминант ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$. При ${\displaystyle D<0}$ уравнение не имеет вещественных корней, но имеет два различных комплексных корня.

Пример: ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ (корни ${\displaystyle x=\pm i}$).

• Уравнения высших степеней — алгебраические уравнения степени 3 и выше.

Пример (уравнение 4-й степени): ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$^[29][30].

• Рациональное уравнение — уравнение, в котором обе части являются рациональными выражениями.

Пример: ${\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}=0}$ (корней нет, так как ${\displaystyle x=1}$ не входит в ОДЗ).

• Иррациональное уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Пример: ${\displaystyle {\sqrt {2x^{2}-1}}=x}$.

Решается переходом к системе: ${\displaystyle {\begin{cases}2x^{2}-1=x^{2}\\x\geq 0\end{cases}}}$. Это позволяет отсеять посторонний корень ${\displaystyle x=-1}$ и оставить только ${\displaystyle x=1}$^[31].

Уравнение, решение которого зависит от значений входящих в него параметров.

• Пример: ${\displaystyle ax=b}$. Решить его — значит рассмотреть случаи ${\displaystyle a\neq 0}$, ${\displaystyle a=0,b=0}$ и ${\displaystyle a=0,b\neq 0}$^[32].

Уравнения, содержащие неалгебраические функции (показательные, логарифмические, тригонометрические).

• Пример (смешанный тип): ${\displaystyle 2^{x}=\lg x+x^{5}+40}$.
• Пример: ${\displaystyle \cos x=x}$^[33].

Уравнения, в которых неизвестным является функция.

• Пример (Гамма-функция): ${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$. Согласно теореме Бора — Моллерупа, гамма-функция является единственным логарифмически выпуклым решением этой системы при условии ${\displaystyle f(1)=1}$.
• Пример (Коши): ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$^[34].

Связывают неизвестную функцию, её аргументы и производные.

• Пример (ОДУ): ${\displaystyle y'=ky}$.
• Пример (В частных производных): ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$^[35].

Уравнения, решения которых ищутся в целых или натуральных числах.

• Пример: ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ (при ${\displaystyle n>2}$ решений нет по Великой теореме Ферма)^[36].

Для решения систем уравнений применяются различные методы, позволяющие свести систему к одному уравнению или упростить её:

• Метод подстановки — выражение одной переменной через другие и подстановка в остальные уравнения.
• Метод сложения (исключения) — почленное сложение или вычитание уравнений для исключения одной из переменных.
• Графический метод — нахождение точек пересечения графиков уравнений.
• Матричные методы — применяются для решения систем линейных алгебраических уравнений (метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод)^[38].

Пример: ${\displaystyle {\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}}}$ Сложив оба уравнения, получим ${\displaystyle 2x=6\implies x=3}$. Подставив в первое уравнение, найдём ${\displaystyle y=2}$. Ответ: ${\displaystyle (3;2)}$.