Тензор электромагнитного поля

Тензор электромагнитного поля — это антисимметричный, дважды ковариантный тензор, являющийся обобщением напряжённости электрического и индукции магнитного поля для произвольных преобразований координат. Он используется для инвариантной формулировки уравнений электродинамики, в частности, с его помощью можно легко обобщить электродинамику на случай наличия гравитационного поля.

Определение

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

\mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

\mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\nabla _{\mu }A_{\nu }-\nabla _{\nu }A_{\mu }

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

F=\mathbf {d} A

Отсюда также очевидна его инвариантность.

Свойства

$F_{\mu \nu }$ — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент.
Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля:

\ F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2(B^{2}-E^{2})=inv

\varepsilon ^{\mu \nu \sigma \rho }F_{\mu \nu }F_{\sigma \rho }=-8\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)=inv

Выражение для компонент

Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид

F_{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)

Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как

F_{\mu \nu }=\left(\mathbf {E} ,\mathbf {B} \right)

Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид

F^{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)

что обозначается как

F^{\mu \nu }=\left(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} \right)

Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае нелинейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0,2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид

E_{x}=E_{x}^{\prime },~~~E_{y}={\frac {E_{y}^{\prime }+{V \over c}B_{z}^{\prime }}{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}},~~~E_{z}={\frac {E_{z}^{\prime }-{V \over c}B_{y}^{\prime }}{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}

B_{x}=B_{x}^{\prime },~~~B_{y}={\frac {B_{y}^{\prime }-{V \over c}E_{z}^{\prime }}{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}},~~~B_{z}={\frac {B_{z}^{\prime }+{V \over c}E_{y}^{\prime }}{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}

Применение

Непосредственно из определения следует, что

\mathbf {d} F=0

В компонентах это выражение принимает вид

\varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }{\frac {\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}={\frac {\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial F_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}+{\frac {\partial F_{\nu \mu }}{\partial x^{\rho }}}=0

где $\varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }$ — символ Леви-Чивиты для 4-хмерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла: