Тензор электромагнитного поля

Тензор электромагнитного поля — это антисимметричный, дважды ковариантный тензор, являющийся обобщением напряжённости электрического и индукции магнитного поля для произвольных преобразований координат. Он используется для инвариантной формулировки уравнений электродинамики, в частности, с его помощью можно легко обобщить электродинамику на случай наличия гравитационного поля.

Определение

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

$\mathrm {F} _{ik}={\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}$

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

$\mathrm {F} _{ik}={\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}=\nabla _{i}A_{k}-\nabla _{k}A_{i}$

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на конфигурационном многообразии, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

$F=\mathbf {d} A$

Отсюда также очевидна его ковариантность.

Свойства

• $F_{ik}$ — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент.
• Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля:

$\ F^{ik}F_{ik}=B^{2}-E^{2}=inv$

$\varepsilon ^{iklm}F_{ik}F_{lm}=\left(\mathbf {E} ;\mathbf {B} \right)=inv$

Выражение для компонент

Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид

$F_{ik}=\left({\begin{matrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)$

Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как

$F_{ik}=\left(\mathbf {E} ,\mathbf {B} \right)$

Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид

$F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)$

что обозначается как

$F^{ik}=\left(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} \right)$

Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае нелинейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0,2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид

$E_{x}=E_{x}^{\prime },~~~E_{y}={\frac {E_{y}^{\prime }+{V \over c}B_{z}^{\prime }}{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}},~~~E_{z}={\frac {E_{z}^{\prime }-{V \over c}B_{y}^{\prime }}{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}$

$B_{x}=B_{x}^{\prime },~~~B_{y}={\frac {B_{y}^{\prime }-{V \over c}E_{z}^{\prime }}{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}},~~~B_{z}={\frac {B_{z}^{\prime }+{V \over c}E_{y}^{\prime }}{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}$

Применение

Непосредственно из определения следует, что

$\mathbf {d} F=0$

В компонентах это выражение принимает вид

$\varepsilon _{ijkm}{\frac {\partial F_{ij}}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial F_{ij}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial F_{jk}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial F_{ki}}{\partial x^{j}}}=0$

где $\varepsilon _{ijkm}$ — символ Леви — Чивиты для 4-хмерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла:

$\operatorname {div} \,\mathbf {B} =0$

$\operatorname {rot} \,\mathbf {E} =-{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

Вторая пара уравнений Максвелла выражается через тензор электромагнитного поля как

$\nabla _{k}F^{ik}=-{\frac {4\pi }{c}}j^{i}$

где $j^{i}$ — вектор 4-тока.

Сила Лоренца выражается через вектор 4-скорости частицы по формуле

${\mathcal {F}}^{k}=F^{ik}u_{i}$

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля