MV-алгебра

MV-алгебра — это алгебраическая структура ${\displaystyle \langle A,\oplus ,\lnot ,0\rangle }$, состоящая из:

• непустого множества ${\displaystyle A}$,
• бинарной операции ${\displaystyle \oplus }$ на ${\displaystyle A}$,
• унарной операции ${\displaystyle \lnot }$ на ${\displaystyle A}$,
• константы ${\displaystyle 0}$, обозначающей фиксированный элемент множества ${\displaystyle A}$,

которая удовлетворяет следующим тождествам:

• ${\displaystyle (x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z)}$,
• ${\displaystyle x\oplus 0=x}$,
• ${\displaystyle x\oplus y=y\oplus x}$,
• ${\displaystyle \lnot \lnot x=x}$,
• ${\displaystyle x\oplus \lnot 0=\lnot 0}$,
• ${\displaystyle \lnot (\lnot x\oplus y)\oplus y=\lnot (\lnot y\oplus x)\oplus x.}$

Из первых трёх аксиом следует, что ${\displaystyle \langle A,\oplus ,0\rangle }$ является коммутативным моноидом. MV-алгебры определяются тождествами и формируют разновидность алгебр. Разновидность MV-алгебр является подразновидностью разновидности BL-алгебр и содержит все булевы алгебры.

Эквивалентно, MV-алгебру можно определить (англ. Hájek, 1998) как прелинейную коммутативную ограниченную интегральную решётчатую резидуальную алгебру ${\displaystyle \langle L,\wedge ,\vee ,\otimes ,\rightarrow ,0,1\rangle }$, удовлетворяющую дополнительному тождеству ${\displaystyle x\vee y=(x\rightarrow y)\rightarrow y}$.

Простым числовым примером является алгебра на отрезке ${\displaystyle A=[0,1]}$ с операциями ${\displaystyle x\oplus y=\min(x+y,1)}$ и ${\displaystyle \lnot x=1-x}$. В математической нечёткой логике эта MV-алгебра называется стандартной (стандартная MV-алгебра), так как реализует стандартную вещественно-значную семантику логики Лукашевича.

Тривиальная MV-алгебра содержит единственный элемент 0 с определениями ${\displaystyle 0\oplus 0=0}$ и ${\displaystyle \lnot 0=0}$.

Двухэлементная MV-алгебра — это фактически двухэлементная булева алгебра ${\displaystyle \{0,1\}}$, где ${\displaystyle \oplus }$ совпадает с дизъюнкцией, а ${\displaystyle \lnot }$ — с отрицанием в булевой алгебре. Если к определяющим MV-алгебру аксиомам добавить ${\displaystyle x\oplus x=x}$, то получим аксиоматизацию булевых алгебр.

Если же добавить аксиому ${\displaystyle x\oplus x\oplus x=x\oplus x}$, то такие аксиомы определяют MV₃-алгебру, соответствующую трёхзначной логике Лукашевича Л₃. Другие конечные линейно упорядоченные MV-алгебры получаются ограничением на множество и операции стандартной MV-алгебры для конечного числа ${\displaystyle n}$ равноудалённых точек между 0 и 1 (включительно): ${\displaystyle \{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots ,1\}}$, это множество замкнуто относительно операций ${\displaystyle \oplus }$ и ${\displaystyle \lnot }$; такие алгебры обычно обозначают MV_n.

Другим важным примером является MV-алгебра Чана (англ. Chang), состоящая лишь из инфинитезималей (порядкового типа ω) и ко-инфинитезималей.

Чанг также построил MV-алгебру из произвольной линейно упорядоченной абелевой группы ${\displaystyle G}$, фиксируя положительный элемент ${\displaystyle u}$ и определяя отрезок ${\displaystyle [0,u]=\{x\in G\mid 0\leq x\leq u\}}$, который становится MV-алгеброй с ${\displaystyle x\oplus y=\min(u,x+y)}$ и ${\displaystyle \lnot x=u-x}$. Более того, Чанг показал, что всякая линейно упорядоченная MV-алгебра изоморфна алгебре, построенной таким образом из группы.

Даниэле Мундичи (англ. Daniele Mundici) расширил этот подход на абелевы решёточные группы. Если ${\displaystyle G}$ — решёточная абелева группа с сильной (порядковой) единицей ${\displaystyle u}$, то «единичный интервал» ${\displaystyle \{x\in G\mid 0\leq x\leq u\}}$ можно наделить операциями ${\displaystyle \lnot x=u-x}$, ${\displaystyle x\oplus y=u\wedge _{G}(x+y)}$, ${\displaystyle x\otimes y=0\vee _{G}(x+y-u)}$. Эта конструкция устанавливает категориальную эквивалентность между абелевыми решётчатыми группами с сильной единицей и MV-алгебрами.

Эффект-алгебра, являющаяся решёткой и обладающая свойством декомпозиции Риса, есть MV-алгебра. В обратную сторону, любая MV-алгебра — это решётчатая эффект-алгебра с этим свойством^[1].

MV-алгебры были введены Чаном (англ. C. C. Chang) для изучения многозначных логик, предложенных Яном Лукашевичем в 1920 году. В частности, MV-алгебры реализуют алгебраическую семантику логики Лукашевича.

Для MV-алгебры ${\displaystyle A}$ определение ${\displaystyle A}$-интерпретации (в англоязычной литературе A-valuation) есть гомоморфизм из алгебры высказывательных формул (в языке с ${\displaystyle \oplus ,\lnot ,0}$) в ${\displaystyle A}$. Формулы, которые преобразуются во все ${\displaystyle A}$-интерпретации в 1 (то есть в ${\displaystyle \lnot 0}$), называются ${\displaystyle A}$-тавтологиями. Если используется стандартная MV-алгебра на [0,1], множество всех [0,1]-тавтологий определяет так называемую бесконечно-значную логику Лукашевича.

Теорема полноты Чана (1958, 1959) утверждает, что всякое равенство MV-алгебр, справедливое в стандартной MV-алгебре на отрезке [0,1], справедливо во всякой MV-алгебре. Алгебраически это означает, что стандартная MV-алгебра порождает разновидность всех MV-алгебр. Эквивалентно, теорема полноты Чана утверждает, что MV-алгебры характеризуют бесконечно-значную логику Лукашевича, определённую как множество [0,1]-тавтологий.

То, что MV-алгебра на [0,1] порождает все MV-алгебры, аналогично известному факту: тождества, выполнимые в двухэлементной булевой алгебре, справедливы во всех булевых алгебрах. Более того, MV-алгебры характеризуют бесконечно-значную логику Лукашевича, подобно тому как булевы алгебры — классическую двухзначную логику (см. алгебра Линденбаума — Тарского).

В 1984 году Фонт, Родригес и Торренс представили алгебру Вайсберга как альтернативную модель для бесконечно-значной логики Лукашевича. Алгебры Вайсберга и MV-алгебры терм-эквивалентны^[2].

В 1940-х годах Григоре Моисил ввёл алгебры Лукашевича — Моисила (LM_n-алгебры) с целью алгебраической семантики для (конечно) n-значной логики Лукашевича. Однако в 1956 году Алан Роуз обнаружил, что при ${\displaystyle n\geq 5}$ LM_n-алгебры не моделируют n-значную логику Лукашевича. Хотя Чанг опубликовал MV-алгебру в 1958 году, она служит корректной моделью только для ℵ₀-значной (бесконечно-значной, англ. infinitely-many-valued) логики Лукашевича — Тарского. Для аксиоматически более сложных (конечных) n-значных логик Лукашевича подходящие алгебры были предложены в 1977 году Ревазом Григолиа и названы MV_n-алгебрами^[3]. MV_n-алгебры являются подклассом LM_n-алгебр; включение строго при ${\displaystyle n\geq 5}$^[4].

MV_n-алгебры — это те MV-алгебры, которые удовлетворяют дополнительным аксиомам; аналогично, конечные n-значные логики Лукашевича имеют свои особые аксиомы сверх ℵ₀-значной логики.

В 1982 году Роберто Чиньоли опубликовал дополнительные условия, которые делают LM_n-алгебры точными моделями для n-значной логики Лукашевича; он назвал такие структуры правильными n-значными алгебрами Лукашевича^[5]. Те LM_n-алгебры, которые одновременно являются MV_n-алгебрами, в точности и есть такие правильные алгебры^[6].

Даниэле Мундичи установил связь MV-алгебр с приближённо конечномерными C*-алгебрами, построив биективное соответствие между изоморфизмными классами приближённо конечномерных C*-алгебр с решёточной группой размерности и изоморфизмными классами счётных MV-алгебр. Некоторые случаи этого соответствия:

Счётная MV-алгебра	Приближённо конечномерная C*-алгебра
{0, 1}	${\displaystyle \mathbb {C} }$
{0, 1/n, \ldots, 1}	${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$ (то есть матрицы ${\displaystyle n\times n}$ над комплексными числами)
Конечная	Конечномерная
Булева	Коммутативная

Существует множество фреймворков, реализующих нечёткую логику (типа II), и большинство из них реализуют так называемую мультиаджойнтную логику (multi-adjoint logic), что по сути является реализацией MV-алгебры.