Его мать, дочь священника Пелагея Никаноровна Метлина, родила Александра в 16 лет. Отец, Василий Иванович Чапаев, часто находился в разъездах, поэтому Пелагея растила ребёнка одна. Чуть позднее у Александра появились ещё сестра Клавдия и брат Аркадий.
Любовь к артиллерии проснулась в Александре во время прохождения им срочной службы в Рабоче-Крестьянской Красной Армии, после которой он поступил на учёбу в артиллерийское училище.
По окончании училища Александр Васильевич начал службу в боевых частях, стажировался в Академии моторизации и механизации Красной Армии, а в 1939 году, с началом формирования Подольского артиллерийского училища, был направлен туда курсовым командиром.
С началом войны при училище был сформирован 696-й артиллерийский полк, в котором капитан Чапаев был назначен командиром дивизиона противотанковых орудий. Вскоре часть отправили на фронт.
В июле 1941 года командовал дивизионом в районе Городка. В октябре-декабре 1941 года вместе со своим дивизионом в составе 511-го гаубичного артиллерийского полка Чапаев сражался на подступах к Москве, где был впервые ранен.
После боёв под Москвой и последующего за этим наступления, советские войска были надолго приостановлены на подступах к Ржеву, где сложилась критическая обстановка. Александр Чапаев, вернувшись из госпиталя, принял командование своим дивизионом.
5 декабря 1942 года Совинформбюро сообщило, что на одном из участков противник пытался контратаковать, однако от прицельного огня батарей Чапаева немцы, потеряв около сотни солдат и офицеров, обратились в бегство. Через два месяца Александр Чапаев, будучи уже майором, вступил в командование артиллерийским полком, который в составе 16-й истребительной противотанковой бригады был переброшен под Воронеж.
Прибыв под Воронеж, бригада получила приказ: выдвинуться вместе с другими частями в тыл противника и освободить Нижнедевицк — районный центр Воронежской области.
«С ходу овладеть городом не удалось, — вспоминал позднее Чапаев, — сил у противника было достаточно…». Перед рассветом с тыла подошла отступавшая под натиском советской 40-й армии крупная германская часть и атаковала войска Чапаева с двух сторон. Лишь когда в бой вступили реактивные установки, силы противника не выдержали и сдались в плен, в результате чего Нижнедевицк был освобождён.
12 июля 1943 года Александр Чапаев участвовал в танковом сражении под Прохоровкой. Его артиллеристы успешно отражали многочисленные танковые атаки немцев. Здесь Чапаев был ранен вторично, после чего три месяца находился на излечении.
Вернувшись в сентябре 1943 года на фронт, во время боёв за Харьков, А. В. Чапаев командовал уже 1850-м истребительным противотанковым артиллерийским полком 16-й истребительной противотанковой артбригады в звании подполковника.
В октябре 1943 года Чапаев был награждён орденом Александра Невского, а в ноябре того же года назначен командиром 64-й пушечной артиллерийской бригады, дислоцировавшейся на переднем краю в составе 1-го Прибалтийского фронта.
4 июля 1944 года войска под командованием генерала армии И. Х. Баграмяна штурмом овладели городом Полоцком — важным железнодорожным узлом. В приказе Верховного Главнокомандующего в числе отличившихся были названы артиллеристы генерала Н. М. Хлебникова и подполковника А. В. Чапаева.
14 сентября 1954 года полковник Чапаев, в качестве командира одной из бригад, принял участие в испытаниях первой созданной в Советском Союзе плутониевой атомной бомбы, которые прошли в рамках учений на Тоцком полигоне в Оренбургской области. Бомба была взорвана на высоте 358 метров, её мощность составляла от 40 до 60 килотонн, что в несколько раз превысило мощность взорванной в 1945 году американцами над Хиросимой, на высоте 600 метров.
Могила Чапаева на Кунцевском кладбище.
Бригада Чапаева, прибывшая на Тоцкий полигон из Владимира, получила новые реактивные установки. Было сделано предупреждение: «взрыв будет сопровождаться очень яркой вспышкой», однако о том, что будет взорвана атомная бомба, никто из военнослужащих проинформирован не был. Результатами взрыва стали выжженная земля, обугленные деревья, запёкшиеся трупы животных, оставленных на этой территории в качестве подопытных. Впоследствии, Чапаеву, как и другим участникам испытаний, приходилось проходить частые медицинские обследования на болезни, связанные с радиацией. Причины их проведения скрывались с целью неразглашения военной и государственной тайны[3].
Весной 1956 года бригада, которой командовал Чапаев, была расформирована, а её командир был направлен на высшие академические курсы при Военной академии имени Дзержинского.
По окончании курсов А. В. Чапаев был назначен командующим артиллерией Приволжского военного округа, с присвоением в мае 1959 года воинского звания генерал-майор артиллерии.
Завершил военную службу Александр Чапаев в должности заместителя командующего артиллерией Московского военного округа[4].
Будучи уже на пенсии, Чапаев активно занимался военно-патриотической работой. Часто посещал 25-ю гвардейскую дивизию имени своего отца — В. И. Чапаева, где проводил занятия с молодыми воинами.
В семье А. В. Чапаева было трое детей[5], в том числе сыновья Валентин и Аркадий[6].
Скончался 7 марта 1985 года в Москве. Похоронен на Кунцевском кладбище (9 уч.).
Год рождения 1910 возможно не соответствует действительности. Во всех наградных листах военного периода годом рождения указан 1912[7].
Орден Суворова III степени[12] — в приказе № 01190/н по Ленинградскому фронту от 22 июля 1945 года, полковника, командира 64-й тяжёлой пушечной артиллерийской бригады 21-й артиллерийской Духовщинской дивизии, за участие в освобождении г. Рига и за умелое руководство 64-й тяжёлой пушечной бригадой приведшего к награждению этого соединения орденом Красного Знамени.