Дифференциальное уравнение Бернулли

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n\neq 0,\,1

называется уравнением Бернулли (при $n=0$ или $n=1$ получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

При $n=2$ является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году.

Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.^[1]

Первый способ

Разделим все члены уравнения на

y^{n},

получим

{\frac {dy}{dx}}\!y^{-n}+a(x)y^{1-n}=b(x).

Делая замену

z=y^{1-n}

и дифференцируя, получаем:

{\frac {dz}{dx}}=(1-n)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}.

Это уравнение приводится к линейному:

{\frac {dz}{dx}}+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x)

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим

y=uv,

тогда:

{\dot {u}}v+u({\dot {v}}+a(x)v)=b(x)(uv)^{n}.

Подберем $v(x)\not \equiv 0$ так, чтобы было

{\dot {v}}+a(x)v=0,

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения $u$ получаем уравнение ${\frac {\dot {u}}{u^{n}}}=b(x)v^{n-1}$ — уравнение с разделяющимися переменными.

Уравнение

y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}

разделим на $y^{2},$ получаем:

y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}.

Замена переменных

w={\frac {1}{y}}

дает:

w'={\frac {-y'}{y^{2}}},

w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}.

M(x)=e^{-2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{-2}.

Делим на $M(x)$ ,

w'x^{2}+2xw=x^{4},

\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx

wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C

{\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C.

Результат:

y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.

Уравнение Бернулли является частным случаем более общего класса уравнений — дифференциального уравнения Дарбу^[2]. Действительно, при целом $n\geqslant 2$ уравнение Бернулли

y'=-a(x)y+b(x)y^{n}

может быть переписано в форме Дарбу $M(x,y)dx-L(x,y)dy+N(x,y)(x\,dy-y\,dx)=0$ , если положить $N(x,y)=0$ , $L(x,y)=-1$ и $M(x,y)=a(x)y-b(x)y^{n}$ . При таком выборе знаменатель нормальной формы $xN-L$ тождественно равен $1$ , и правая часть совпадает с правой частью уравнения Бернулли. В частности, при $n=2$ получается уже упоминавшееся выше частное соотношение с уравнением Риккати, которое, в свою очередь, само является частным случаем уравнения Дарбу.

Существует и обратная связь: уравнение Дарбу в ряде важных случаев сводится к уравнению Бернулли. В частности, в однородном случае, когда многочлены $M,L,N$ являются однородными и $\deg M=\deg L=k$ , $\deg N=n$ , замена $y(x)=x\,t(x)$ приводит уравнение Дарбу к уравнению Бернулли относительно обратной функции $x=x(t)$ . Таким образом, уравнение Бернулли одновременно выступает и как частный случай уравнения Дарбу, и как инструмент его интегрирования в однородном случае.

А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.

↑ Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
↑ Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям = Differentialgleichnungen: Lösungsmethoden und Lösungen. — М.: Наука, 1971. — С. 38.

[1] Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.

[2] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям = Differentialgleichnungen: Lösungsmethoden und Lösungen. — М.: Наука, 1971. — С. 38.

[1]

[2]

Дифференциальное уравнение Бернулли

Метод решения

Первый способ

Второй способ

Пример

Связь с уравнением Дарбу

Литература

Примечания

Категории