Выступать в картинге на международном уровне Терещенко стал в 2009 году, дебютировав в чемпионате Германии по картингу в юниорском классе. Уже в следующем 2010 году Константин перешёл в старший класс немецкого картингового чемпионата — KF2, где он сумел набрать первые очки. Константин принял решение участвовать сразу в нескольких картинговых чемпионатах в Европе. Он принял участие в Trofeo delle Industrie в Италии с 25 соперниками, участие на нескольких этапах WSK Master Series, Trofeo Andrea Margutti. В серии чемпионата Viking Trophy Константин занимял 6-ое место. Участие в основном чемпионате Германии по картингу закончилось для россиянина на 14-м месте. Следующий 2011 год стал определяющим в карьере Константина: он продолжал участвовать в заездах чемпионатов Viking Trophy, WSK Master Series и Trofeo Andrea Margutti, и по итогам года заключил контракт с командой Interwetten.com Racing Team для участия в альпийской серии формулы Renault 2.0.
В 2012 Терещенко принял участие в только что созданном чемпионате Формуле-Россия (ныне — Формула-Мастер Россия) за команду Москвы[1], где из 7 гонок выиграл 5, став чемпионом серии. В следующем 2013 году выступил только в 4-х гонках чемпионата[2], в трёх из которых одержал победу.
В 2012 г. Терещенко дебютировал в Альпийской Формуле Рено 2.0 в составе команды Interwetten.com Racing Team,[3] однако успехов не добился: не сумев набрать ни одного очка Константин закончил сезон на 32-ом месте[4].
Выступление в серии в следующем 2013 году были более успешными:[5] на этапах в Спа и Майзано Константин вошёл в топ-5 участников заездов. Итогом выступлений в 2013 году стало 15 место с заработанными 25 очками[6].
Параллельно этому в обоих сезонах Константин провёл по три этапа в Еврокубке Формулы Renault 2.0.[7]
Уже в 2015 году[9], одержав 6 побед в и набрав 286 очков, Константин занял 2-ое место в чемпионате[10], всего 5 баллов уступив лидеру — бразильскому пилоту Витору Баптисте.
В 2014 г. Терещенко заключил контракт с командой Trident Racing на проведение одного этапа чемпионата GP3 в Спа,[11] но этап для российского пилота закончился неудачно: на пятничной тренировке Терещенко попал в серьёзную аварию в повороте Bus Stop[12]. Россиянин смог самостоятельно покинуть кокпит, но после обследования в медицинском центре врачи порекомендовали отказаться от дальнейшего участия по ходу уик-энда[13].
В 2015 году вследствие хороших результатов Терещенко в Открытом чемпионате Европейской Формулы-3[14] команда Campos Racing предоставила россиянину место боевого пилота в серии GP3 на этапах в Сочи[15], Бахрейне и ОАЭ[16]. В проведённых гонках Константин не сумел набрать очков, в сезоне занял 29-ое место.
2 декабря 2015 г. в рамках молодёжных тестов в Абу-Даби Терещенко отработал день за команду Campos Racing.[17] 1-ю часть тестового дня Константин закончил на 20-ом месте, вторую — уже на 23-м.[18]