Теория теплоёмкости Эйнштейна

Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна была создана Эйнштейном в 1907 году при попытке объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость теплоёмкости от температуры^[1].

При разработке теории Эйнштейн опирался на следующие предположения:

• Атомы в кристаллической решётке ведут себя как гармонические осцилляторы, не взаимодействующие друг с другом.
• Частота колебаний всех осцилляторов одинакова и равна ${\displaystyle \nu =\omega /2\pi }$.
• Число осцилляторов в 1 моле вещества равно ${\displaystyle 3N_{a}}$, где ${\displaystyle N_{a}}$ — число Авогадро.
• Энергия их квантования: ${\displaystyle \varepsilon =n\hbar \omega }$, где ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$, ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).
• Число осцилляторов с различной энергией определяется распределением Больцмана:

${\displaystyle N_{n}=N_{0}\exp \left(-{\hbar \omega \over kT}n\right),}$

где ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$ — термодинамическая температура.

Внутренняя энергия 1 моля вещества:

${\displaystyle {\bar {U}}_{\mu }=3{\bar {\varepsilon }}N_{a}.}$

Среднее значение энергии одного осциллятора ${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}}$ находится из соотношения для среднего значения:

${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}={\sum _{n=0}^{\infty }{\varepsilon _{n}N_{n}} \over \sum _{n=0}^{\infty }{\ N_{n}}}}$

и составляет:

${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}={\hbar \omega \over \exp \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1},}$

отсюда:

${\displaystyle {\bar {U}}_{\mu }=3N_{a}\hbar \omega {1 \over \exp \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1}.}$

Определяя теплоёмкость как производную внутренней энергии по температуре, получаем окончательную формулу для теплоёмкости:

${\displaystyle C={dU \over dT}=3R\left({\hbar \omega \over kT}\right)^{2}{\exp \left({\hbar \omega \over kT}\right) \over \left(\exp \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1\right)^{2}}.}$

Согласно модели, предложенной Эйнштейном, при абсолютном нуле температуры теплоёмкость стремится к нулю, при больших температурах, напротив, выполняется закон Дюлонга — Пти^[2]. Величина ${\displaystyle \theta _{E}={\hbar \omega \over k}}$ иногда называется температурой Эйнштейна.