Лемма Ферма

У Ньютона этот факт упоминался как т. н. принцип остановки^[1]:

Выдвинут Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах^[2].

Пусть функция ${\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ имеет во внутренней точке области определения ${\displaystyle x\in M^{0}}$ локальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производные ${\displaystyle f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})}$ конечные или бесконечные. Тогда

• если ${\displaystyle x_{0}}$ — точка локального максимума, то

  ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})\leqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\geqslant 0;}$

• если ${\displaystyle x_{0}}$ — точка локального минимума, то

  ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})\geqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\leqslant 0.}$

В частности, если функция ${\displaystyle f}$ имеет в ${\displaystyle x_{0}}$ производную, то

${\displaystyle f'(x_{0})=0.}$

Предположим, что ${\displaystyle f(x_{0})=\max _{x\in (a,b)}f(x)}$. Тогда ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\colon f(x)\leqslant f(x_{0})}$.

Поэтому:

${\displaystyle f'_{-}(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}-0}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)\geqslant 0,}$

${\displaystyle f'_{+}(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}+0}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)\leqslant 0.}$

Если производная ${\displaystyle f'(x_{0})}$ определена, то получаем

${\displaystyle 0\leqslant f'_{-}(x_{0})=f'(x_{0})=f'_{+}(x_{0})\leqslant 0}$,

то есть ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$.

Если ${\displaystyle x_{0}}$ — точка локального минимума функции ${\displaystyle f}$, то доказательство аналогично.

Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует наличие локального экстремума в этой точке.

• Пусть ${\displaystyle f(x)=|x|}$. Тогда ${\displaystyle x=0}$ — точка локального минимума, и

${\displaystyle f'_{+}(0)=1\geqslant 0}$, ${\displaystyle f'_{-}(0)=-1\leqslant 0}$ (при этом сама функция не является дифференцируемой в точке ${\displaystyle x=0}$).

• Пусть ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$. Тогда ${\displaystyle x=0}$ — точка локального минимума, и

${\displaystyle f'(0)=0}$.

• Пусть ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$. Тогда

${\displaystyle f'(0)=0}$,

но точка ${\displaystyle x=0}$ не является точкой локального экстремума.