Степень с рациональным показателем и её свойства

Понятие степени с рациональным показателем формировалось постепенно, по мере развития алгебраической символики и возникновения потребности в унификации операций возведения в целую степень и извлечения корня.

В античной математике (например, в трудах Диофанта) и в средневековой математике Ближнего Востока операции извлечения корня рассматривались как самостоятельные, геометрически мотивированные действия. Они не связывались с возведением в степень единой алгебраической закономерностью, а единая символика для этих операций отсутствовала.

Первые известные попытки записи дробных показателей степени встречаются в рукописи французского математика Николя Шюке «Наука о числах в трёх частях» (1484 год), где он использовал запись вида ${\displaystyle 12^{3/2}}$ для обозначения ${\displaystyle 12{\sqrt {12}}}$. Однако широкую известность эта идея получила благодаря немецкому математику Михаэлю Штифелю. В его фундаментальном труде «Целая арифметика» (Arithmetica integra, 1544 год) впервые были чётко сформулированы правила действий со степенями, включая дробные, и установлена глубокая связь между арифметической прогрессией показателей и геометрической прогрессией самих чисел^[3][4][5].

Окончательное алгебраическое обоснование и широкое внедрение дробных (а также отрицательных) показателей степени связано с именем английского математика Джона Валлиса. В трактате «Арифметика бесконечных» (Arithmetica Infinitorum, 1655 год) он строго доказал, что правила умножения и деления степеней, известные для натуральных показателей, полностью сохраняют свою силу и для рациональных чисел<^[6].

Позже Исаак Ньютон в 1676 году обобщил биномиальную формулу на случай произвольных рациональных показателей. Это открытие стало мощнейшим инструментом в зарождающемся математическом анализе и окончательно закрепило степень с рациональным показателем как полноправный и универсальный математический объект, неотделимый от понятия непрерывной функции^[7].

Операция возведения положительного действительного числа ${\displaystyle a}$ в рациональную степень ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ определяется следующим образом^[8]:

${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}}$

где ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ (множество целых чисел), ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ (множество натуральных чисел).

При работе со степенями с рациональным показателем сохраняются все основные свойства степеней с целым показателем, при условии, что основания степеней положительны (${\displaystyle a>0,\;b>0}$)^[11][12]:

• Умножение степеней с одинаковыми основаниями:

${\displaystyle a^{r}\cdot a^{p}=a^{r+p}}$

• Деление степеней с одинаковыми основаниями:

${\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{p}}}=a^{r-p},\quad {\text{где }}a\neq 0}$

• Возведение степени в степень:

${\displaystyle (a^{r})^{p}=a^{r\cdot p}}$

• Степень произведения:

${\displaystyle (a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}}$

• Степень дроби:

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}},\quad {\text{где }}b\neq 0}$

В стандартном курсе математического анализа выражение ${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}$ при ${\displaystyle a<0}$ считается неопределённым. Это связано с тем, что при отрицательных основаниях перестают выполняться базовые свойства степеней, что приводит к логическим противоречиям.

Классический пример противоречия: Рассмотрим число ${\displaystyle a=-1}$. Применим свойство возведения степени в степень ${\displaystyle (a^{r})^{p}=a^{r\cdot p}}$:

1. Если сначала возвести в степень 2, а затем извлечь корень 6-й степени (то есть возвести в степень ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$):

${\displaystyle \left((-1)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}=1}$

1. Если сначала перемножить показатели (${\displaystyle 2\cdot {\frac {1}{2}}=1}$), а затем возвести в степень 1:

${\displaystyle (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=(-1)^{1}=-1}$

Поскольку ${\displaystyle 1\neq -1}$, свойство ${\displaystyle (a^{r})^{p}=a^{r\cdot p}}$ для отрицательных ${\displaystyle a}$ нарушается. Чтобы избежать подобных парадоксов, в определении степенной функции с рациональным показателем область определения основания строго ограничивается положительными числами (${\displaystyle a>0}$).

Примечание: в некоторых разделах высшей математики и при работе с комплексными числами дробная степень отрицательного числа может быть определена, но она всегда является многозначной функцией^[13].

Пример 1. Вычисление значения: ${\displaystyle 8^{\frac {2}{3}}=\left({\sqrt[{3}]{8}}\right)^{2}=2^{2}=4.}$

Пример 2. Отрицательный дробный показатель: ${\displaystyle 27^{-{\frac {2}{3}}}={\frac {1}{27^{\frac {2}{3}}}}={\frac {1}{\left({\sqrt[{3}]{27}}\right)^{2}}}={\frac {1}{3^{2}}}={\frac {1}{9}}.}$

Пример 3. Упрощение выражений с использованием свойств: ${\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}\cdot 4^{\frac {1}{4}}=4^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}}=4^{\frac {3}{4}}=\left({\sqrt[{4}]{4}}\right)^{3}=\left({\sqrt {2}}\right)^{3}=2{\sqrt {2}}.}$

Степенная функция — функция вида ${\displaystyle y=x^{r}}$, где ${\displaystyle r}$ — фиксированное рациональное число^[14].

• Если ${\displaystyle r>0}$, функция определена при ${\displaystyle x\geq 0}$ (или ${\displaystyle x>0}$), возрастает на всей области определения и проходит через точки ${\displaystyle (0;\,0)}$ и ${\displaystyle (1;\,1)}$.
• Если ${\displaystyle r<0}$, функция определена при ${\displaystyle x>0}$, убывает на всей области определения, проходит через точку ${\displaystyle (1;\,1)}$ и имеет вертикальную асимптоту ${\displaystyle x=0}$ и горизонтальную асимптоту ${\displaystyle y=0}$.

⚠️Подсказка для ОГЭ/ЕГЭ

Степень с рациональным показателем объединяет два действия:

• возведение в степень;
• извлечение корня.

Главная формула: ${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}}$, где ${\displaystyle a>0}$. Отрицательный показатель: ${\displaystyle a^{-{\frac {m}{n}}}={\frac {1}{a^{\frac {m}{n}}}}}$. Свойства степеней сохраняются: ${\displaystyle a^{r}\cdot a^{p}=a^{r+p}}$, ${\displaystyle (a^{r})^{p}=a^{rp}}$, ${\displaystyle (ab)^{r}=a^{r}b^{r}}$.

---

Как применять:

• Дробный показатель: знаменатель — корень, числитель — степень под корнем.
• При сравнении: если ${\displaystyle a>1}$, степень растёт с ростом показателя; если ${\displaystyle 0<a<1}$ — убывает.
• При упрощении выражений с отрицательным основанием будьте осторожны: ${\displaystyle (-8)^{1/3}}$ имеет смысл как ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}=-2}$, но ${\displaystyle (-16)^{1/2}}$ в действительных числах не определён. Если сомневаетесь — переписывайте через корень.

---

Частые ошибки:

• путают ${\displaystyle a^{m/n}}$ с ${\displaystyle {\frac {a^{m}}{n}}}$;
• забывают про обратное число при отрицательном показателе;
• не проверяют ОДЗ (под корнем чётной степени — неотрицательное выражение);
• считают, что ${\displaystyle (a+b)^{1/2}={\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}$ — это неверно.

Введение рациональной степени позволяет распространить аппарат дифференциального и интегрального исчисления на степенные функции.

Производная: Для любой степенной функции ${\displaystyle y=x^{r}}$ (где ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$) справедлива формула: ${\displaystyle (x^{r})'=r\cdot x^{r-1}.}$

Интеграл: ${\displaystyle \int x^{r}\,dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C,\quad {\text{при }}r\neq -1.}$

Понятие степени с рациональным показателем служит фундаментальным «мостиком» для определения степени с иррациональным (и любым действительным) показателем^[15].

Степень ${\displaystyle a^{\alpha }}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — иррациональное число, определяется как предел: ${\displaystyle a^{\alpha }=\lim _{r\to \alpha }a^{r},}$ где ${\displaystyle r}$ — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к ${\displaystyle \alpha }$. Благодаря монотонности и непрерывности показательной функции, этот предел существует и не зависит от выбора последовательности рациональных чисел ${\displaystyle r}$.