Регулярное локальное кольцо

Понятие регулярного локального кольца ввёл Вольфганг Крулль в 1937 году в работе о размерностной теории в локальных кольцах. Крулль определил регулярность равенством минимального числа образующих максимального идеала и размерности и доказал основные свойства, включая поведение при пополнении и связь с системами параметров^[7][8].

Геометрический смысл — совпадение простой точки абстрактного многообразия с регулярностью локального кольца — установил Оскар Зарисский в 1947 году. Зарисский показал, что классическое якобиево условие простоты точки равносильно равенству ${\displaystyle \mu ({\mathfrak {m}})=\dim A}$ для локального кольца точки, тем самым связав итальянскую школу алгебраической геометрии с абстрактной теорией Крулля^[4].

Структуру полных локальных колец, в том числе регулярных, описал И. С. Коэн в 1946 году: в равнохарактеристическом случае полное регулярное кольцо есть кольцо формальных рядов^[9].

Гомологический поворот произошёл в середине 1950-х годов. Жан-Пьер Серр доказал, что регулярность равносильна конечности глобальной размерности, и вычислил эту размерность^[6]. Морис Ауслендер и Дэвид Буксбаум установили формулу, связывающую проективную размерность и глубину, и в 1959 году доказали факториальность регулярных локальных колец^[10][11]. Эти результаты превратили регулярные локальные кольца в центральный объект гомологической коммутативной алгебры.

В 1969 году Эрнст Кунц дал характеристику регулярности в простой характеристике через плоскостность Фробениуса^[12]. В дальнейшем регулярные локальные кольца стали эталоном «наименьших особенностей»: относительно них определяют рациональные, канонические, ${\displaystyle F}$-регулярные и прочие классы особенностей.

Пусть ${\displaystyle A}$ — коммутативное нётерово кольцо с единицей, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — его единственный максимальный идеал, ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$ — поле вычетов. Размерность Крулля ${\displaystyle \dim A}$ есть наибольшая длина строго возрастающей цепочки простых идеалов в ${\displaystyle A}$. По лемме Накаямы минимальное число образующих идеала ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ равно

${\displaystyle \mu ({\mathfrak {m}})=\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.}$

Число ${\displaystyle \operatorname {emb.dim} A:=\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ называют вложенной размерностью кольца ${\displaystyle A}$. Из теоремы Крулля о главном идеале следует фундаментальное неравенство

${\displaystyle \operatorname {emb.dim} A\geq \dim A}$

для любого нётерова локального кольца^[2][13][14].

Кольцо ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$ называют регулярным локальным, если это неравенство обращается в равенство:

${\displaystyle \operatorname {emb.dim} A=\dim A.}$

Иными словами, максимальный идеал порождается ровно ${\displaystyle d=\dim A}$ элементами. Такие образующие составляют регулярную систему параметров.

В размерности нуль регулярные локальные кольца — это в точности поля: ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(0)}$ и ${\displaystyle \dim A=0}$. В размерности один регулярные локальные кольца — это в точности кольца дискретного нормирования^[13][2].

Пусть ${\displaystyle \dim A=d}$. Набор элементов ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}\in {\mathfrak {m}}}$ называют системой параметров, если идеал ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{d})}$ является ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-примарным, то есть его радикал равен ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Система параметров всегда существует в нётеровом локальном кольце.

Система параметров регулярна, если она порождает ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ как идеал. Это равносильно тому, что образы ${\displaystyle x_{i}}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ образуют базис этого векторного пространства. Регулярная система параметров является регулярной последовательностью: каждый ${\displaystyle x_{i+1}}$ не является делителем нуля в ${\displaystyle A/(x_{1},\dots ,x_{i})}$, и фактор ${\displaystyle A/(x_{1},\dots ,x_{d})}$ есть поле^[2][15].

Если ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}}$ — регулярная система параметров, фактор ${\displaystyle A/(x_{1},\dots ,x_{i})}$ снова регулярен и имеет размерность ${\displaystyle d-i}$. В геометрических терминах элементы регулярной системы параметров играют роль локальных координат в окрестности точки^[16].

Для нётерова локального кольца ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}},k)}$ размерности ${\displaystyle d}$ следующие условия равносильны^[2][3][17].

1. ${\displaystyle \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=d}$.
2. Максимальный идеал порождается ${\displaystyle d}$ элементами.
3. Существует регулярная система параметров.
4. Ассоциированное градуированное кольцо ${\displaystyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(A)=\bigoplus _{n\geq 0}{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}}$ изоморфно кольцу многочленов ${\displaystyle k[T_{1},\dots ,T_{d}]}$^[18].
5. Кратность Самюэля ${\displaystyle e(A)}$ равна ${\displaystyle 1}$ (для локальной области; в общей ситуации — при дополнительном условии несмешанности).
6. Глобальная размерность ${\displaystyle \operatorname {gl.dim} A}$ конечна.
7. ${\displaystyle \operatorname {gl.dim} A=d}$.
8. Проективная размерность поля вычетов конечна: ${\displaystyle \operatorname {pd} _{A}k<\infty }$.
9. ${\displaystyle \operatorname {pd} _{A}k=d}$.
10. Пополнение ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ регулярно.

Изоморфизм ${\displaystyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(A)\simeq k[T_{1},\dots ,T_{d}]}$ означает, что между минимальными образующими ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ нет соотношений в первой степени и что все высшие соотношения порождаются коммутативностью. Если кольцо не регулярно, в ${\displaystyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(A)}$ появляются однородные соотношения: для скрещивания двух прямых ${\displaystyle A=k[[x,y]]/(xy)}$ имеем ${\displaystyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(A)\simeq k[T_{1},T_{2}]/(T_{1}T_{2})}$^[19].

Теорема Серра утверждает, что нётерово локальное кольцо регулярно тогда и только тогда, когда его глобальная размерность конечна; в этом случае

${\displaystyle \operatorname {gl.dim} A=\dim A=\operatorname {pd} _{A}k}$^[6][10].

Иными словами, каждый конечно порождённый ${\displaystyle A}$-модуль обладает конечной проективной резольвентой длины не больше ${\displaystyle \dim A}$, а поле вычетов требует резольвенту в точности длины ${\displaystyle \dim A}$. Минимальная свободная резольвента поля вычетов ${\displaystyle k}$ задаётся комплексом Кошуля ${\displaystyle K_{\bullet }(x_{1},\dots ,x_{d};A)}$ по регулярной системе параметров.

Формула Ауслендера — Буксбаума связывает проективную размерность и глубину: если ${\displaystyle M}$ — конечно порождённый модуль конечной проективной размерности над нётеровым локальным кольцом, то

${\displaystyle \operatorname {pd} _{A}M+\operatorname {depth} M=\operatorname {depth} A}$^[10][15].

Для регулярного ${\displaystyle A}$ имеем ${\displaystyle \operatorname {depth} A=\dim A}$, то есть кольцо является кольцом Коэна — Маколея, и формула принимает вид ${\displaystyle \operatorname {pd} _{A}M+\operatorname {depth} M=\dim A}$.

Типичный пример бесконечной резольвенты доставляет кольцо двойных чисел ${\displaystyle A=k[t]/(t^{2})}$ (локальное, ${\displaystyle \dim A=0}$, ${\displaystyle \operatorname {emb.dim} A=1}$): умножение на ${\displaystyle t}$ даёт периодическую резольвенту

${\displaystyle \cdots \to A\xrightarrow {\cdot t} A\xrightarrow {\cdot t} A\to k\to 0.}$

Пусть ${\displaystyle X}$ — алгебраическое многообразие (или схема конечного типа) над полем ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle x\in X}$ — точка, ${\displaystyle A={\mathcal {O}}_{X,x}}$ — локальное кольцо ростков. Касательное пространство Зарисского в ${\displaystyle x}$ отождествляется с двойственным к ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$:

${\displaystyle T_{x}X=({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2})^{\vee }.}$

Размерность ${\displaystyle X}$ в точке ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \dim A}$. Точка ${\displaystyle x}$ простая (гладкая, регулярная), если ${\displaystyle \dim T_{x}X=\dim _{x}X}$, то есть если ${\displaystyle A}$ регулярно. В противном случае точка особая: касательное пространство «слишком велико»^[4][5].

На плоской кривой это видно непосредственно:

• Парабола ${\displaystyle y=x^{2}}$ в начале координат: ${\displaystyle A=k[x,y]_{(x,y)}/(y-x^{2})}$ изоморфна локализации кольца многочленов от одной переменной, ${\displaystyle \operatorname {emb.dim} A=\dim A=1}$.
• Узел ${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x+1)}$ в начале: две различные касательные, ${\displaystyle \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=2>\dim A=1}$.
• Остриё (касп) ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$ в начале: единственная касательная кратности два, снова ${\displaystyle \operatorname {emb.dim} A=2>\dim A=1}$.

Для схем над полем характеристики нуль (и, при сепарабельности, в положительной характеристике) регулярность локальных колец равносильна гладкости морфизма ${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} k}$ в данной точке. Над несовершенным полем различают регулярность и геометрическую регулярность (гладкость после расширения скаляров); последнее условие строже.

Классический пример: пусть ${\displaystyle k}$ — несовершенное поле характеристики ${\displaystyle p>0}$, и ${\displaystyle a\in k}$ не является ${\displaystyle p}$-й степенью. Кольцо ${\displaystyle A=k[x]/(x^{p}-a)}$ является полем (расширением степени ${\displaystyle p}$), следовательно, это регулярное локальное кольцо размерности 0. Однако после расширения скаляров до алгебраического замыкания ${\displaystyle {\bar {k}}}$ кольцо ${\displaystyle A\otimes _{k}{\bar {k}}\simeq {\bar {k}}[x]/(x-{\sqrt[{p}]{a}})^{p}}$ содержит нильпотенты и не является приведённым и, следовательно, не является регулярным. Таким образом, ${\displaystyle A}$ регулярно, но не геометрически регулярно над ${\displaystyle k}$.

• Любое поле.
• Кольцо дискретного нормирования, в том числе кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ целых ${\displaystyle p}$-локальных чисел и кольцо ростков голоморфных функций одной переменной.
• Кольцо формальных степенных рядов ${\displaystyle k[[x_{1},\dots ,x_{d}]]}$ над полем и кольцо сходящихся рядов ${\displaystyle k\{x_{1},\dots ,x_{d}\}}$.
• Кольцо ${\displaystyle p}$-адических целых ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ и, более общо, кольцо векторов Витта ${\displaystyle W(k)}$ совершенного поля характеристики ${\displaystyle p}$.
• Локализация ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]_{\mathfrak {m}}}$ кольца многочленов по любому максимальному идеалу: все точки аффинного пространства гладкие.
• Локализация ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$ по простому идеалу: это регулярное кольцо смешанной характеристики.

Регулярное локальное кольцо является областью целостности. Более того, по теореме Ауслендера — Буксбаума оно факториально (UFD)^[11]. Отсюда следует нормальность: регулярное локальное кольцо целозамкнуто в своём поле частных. Оно удовлетворяет условиям Серра ${\displaystyle (R_{k})}$ и ${\displaystyle (S_{k})}$ для всех ${\displaystyle k\geq 0}$ и является кольцом Коэна — Маколея, Горенштейна и полным пересечением^[20].

Локализация регулярного локального кольца по любому простому идеалу регулярна. Пополнение в ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-адической топологии регулярно, и исходное кольцо регулярно тогда и только тогда, когда регулярно пополнение. Регулярность сохраняется при формально гладких (в частности, этальных) расширениях.

Если ${\displaystyle A\to B}$ — плоский локальный гомоморфизм нётеровых локальных колец, то ${\displaystyle B}$ регулярно в том и только том случае, когда регулярны ${\displaystyle A}$ и слой ${\displaystyle B/{\mathfrak {m}}_{A}B}$. Это локальный критерий гладкости.

Регулярное локальное кольцо универсально катенарно: все цепи простых идеалов между двумя фиксированными простыми имеют одну и ту же длину, и это свойство сохраняется при конечно порождённых расширениях^[21].

Нётерово кольцо ${\displaystyle A}$ (не обязательно локальное) называют регулярным, если все его локализации ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ по простым идеалам — регулярные локальные кольца. Достаточно проверять условие в максимальных идеалах. Кольцо многочленов ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ над полем регулярно, как и ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$. Глобальная размерность регулярного кольца конечна и равна его размерности Крулля (теорема Серра — Гильберта о сизигиях в аффинном случае).

Произведение двух регулярных колец регулярно. Кольцо регулярных функций на гладком аффинном многообразии регулярно. Локализация и конечная этальная алгебра над регулярным кольцом регулярны.

Не всякое регулярное кольцо является UFD: кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ регулярно (оно дедекиндово), но не факториально. Локальность в теореме Ауслендера — Буксбаума существенна^[22].

Регулярные локальные кольца являются алгебраическим аналогом гладких точек. Проблема разрешения особенностей для алгебраических многообразий (или схем) формулируется как поиск собственного бирационального морфизма ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$, где ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ — многообразие, все локальные кольца ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{{\tilde {X}},y}}$ которого являются регулярными. Теорема Хиронаки (1964) утверждает, что такое разрешение всегда существует для схем конечного типа над полем характеристики нуль. В положительной характеристике проблема остаётся открытой для размерностей ${\displaystyle \geq 4}$, и изучение свойств регулярных локальных колец (например, через теорию ${\displaystyle F}$-сингулярностей) является ключевым инструментом в современных подходах к этой проблеме^[23].

Для нётеровых локальных колец имеется строгая цепочка включений

регулярные ${\displaystyle \subset }$ полные пересечения ${\displaystyle \subset }$ кольца Горенштейна ${\displaystyle \subset }$ кольца Коэна — Маколея ${\displaystyle \subset }$ универсально катенарные^[15][3].

Каждое включение строгое. Кольцо ${\displaystyle k[[x,y]]/(xy)}$ — полное пересечение, но не регулярно. Существуют кольца Горенштейна, не являющиеся полными пересечениями, и кольца Коэна — Маколея, не являющиеся горенштейновыми.

Полное пересечение характеризуется тем, что пополнение есть фактор кольца формальных рядов по регулярной последовательности. Горенштейновость означает, что канонический модуль свободен ранга один, или что ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{A}^{d}(k,A)\simeq k}$. Коэна — Маколея — равенство глубины и размерности.

Регулярность — наиболее жёсткое из этих условий: она требует, чтобы сам максимальный идеал порождался регулярной последовательностью, а не лишь некоторый ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-примарный идеал.