Теорема Гильберта о нулях

Пусть ${\displaystyle k}$ — поле, ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ — кольцо многочленов над ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle {\bar {k}}}$ — алгебраическое замыкание поля ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle F,F_{1},...,F_{m}}$ — многочлены из ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$^[1].

Корнем многочлена ${\displaystyle F(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ называется последовательность ${\displaystyle (c_{1},\dots ,c_{n})}$ из ${\displaystyle {\bar {k}}}$, удовлетворяющая условию ${\displaystyle F(c_{1},\dots ,c_{n})=0}$. Если каждый общий корень многочленов ${\displaystyle F_{1},...,F_{m}}$ является корнем многочлена ${\displaystyle F}$, то существует такое целое число ${\displaystyle r}$, зависящее только от ${\displaystyle F_{1},...,F_{m}}$, что ${\displaystyle F^{r}}$ принадлежит идеалу, порождённому ${\displaystyle F_{1},...,F_{m}}$, то есть${\displaystyle F^{r}=A_{1}F_{1}+...+A_{m}F_{m}}$, где ${\displaystyle A_{1},...,A_{m}}$ — некоторые многочлены.

«Слабая» теорема утверждает, что система имеет решение в ${\displaystyle K^{n}}$ тогда и только тогда, когда идеал ${\displaystyle (f_{i}|i\in I)}$ строго меньше всего кольца ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$, или, что равносильно, пересекается с ${\displaystyle K}$ по нулю^[2].

Полная версия теоремы может быть доказана из «слабой» формы с помощью трюка Рабиновича.

Пусть ${\displaystyle K}$ — алгебраически замкнутое поле. Предположим, что многочлен ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ обращается в нуль, когда все многочлены ${\displaystyle f_{1},...,f_{m}}$ обращаются в нуль. Тогда многочлены ${\displaystyle f_{1},...,f_{m},1-x_{0}f}$ не имеют общих нулей, поэтому по «слабой» форме теоремы для ${\displaystyle K[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ они порождают единичный идеал ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$. Это означает, что существуют многочлены ${\displaystyle g_{0},g_{1},\dots ,g_{m}\in K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}$, такие что

${\displaystyle 1=g_{0}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})(1-x_{0}f(x_{1},\dots ,x_{n}))+\sum _{i=1}^{m}g_{i}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

как равенство элементов кольца многочленов ${\displaystyle K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}$. Поскольку ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}}$ являются свободными переменными, это равенство продолжает выполняться, если вместо некоторых переменных подставить выражения; в частности, из подстановки ${\displaystyle x_{0}=1/f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ следует, что

${\displaystyle 1=\sum _{i=1}^{m}g_{i}(1/f(x_{1},\dots ,x_{n}),x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

как элементы поля рациональных функций ${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})}$, поле дробей кольца многочленов ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$. Более того, единственные выражения, которые встречаются в знаменателях правой части, — это ${\displaystyle f}$ и степени ${\displaystyle f}$, поэтому приведя к дробь к общему знаменателю, получаем равенство:

${\displaystyle 1={\frac {\sum _{i=1}^{m}h_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}{f(x_{1},\dots ,x_{n})^{r}}}}$

для некоторого натурального числа ${\displaystyle r}$ и многочленов ${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$.

Следовательно ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})^{r}=\sum _{i=1}^{m}h_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n}),}$ что буквально является полной версией теоремы о нулях для ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$^[3].

Оскар Зарисский даёт следующую формулировку и доказательство теоремы Гильберта о корнях^[4]:

Идеал ${\displaystyle J(V({\mathfrak {A}}))}$ многообразия идеала ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ в ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ есть радикал идеала ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$.

Покажем, что данной теореме эквивалентно следующее утверждение:

если ${\displaystyle V({\mathfrak {A}})}$ пусто, то ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=(1)}$.

Так как идеал пустого многообразия есть единичный идеал, и единственный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, радикал которого есть единичный радикал, является сам единичным радикалом. С другой стороны, предполагая, что вышеприведённое утверждение справедливо, допускаем полиномы ${\displaystyle F,F_{1},...,F_{q}}$ из ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$, удовлетворяющие условиям теоремы. Введём дополнительное неизвестное ${\displaystyle T}$. Полиномы ${\displaystyle F,F_{1},...,F_{q},1-TF}$ не имеют общих корней в ${\displaystyle K}$. Следовательно, в силу исходного утверждения, идеал, порождённый этими полиномами в ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},T]}$, должен быть единичным идеалом и существуют полиномы ${\displaystyle B_{i}(X,T)}$, ${\displaystyle B(X,T)}$ из ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},T]}$, такие, что ${\displaystyle 1=B_{1}(X,T)F_{1}(X)+...+B_{q}(X,T)F_{q}(X)+B(X,T)(1-TF(X))}$. Подставив в это равенство ${\displaystyle T={\frac {1}{F(X)}}}$ и приведя его к общему знаменателю, получаем исходную формулировку теоремы ${\displaystyle F^{Q}=A_{1}F_{1}+A_{2}F_{2}+...+A_{q}F_{q}}$.

Из теоремы следует, что на любом непустом аффинном многообразии имеется алгебраическая точка. Таким образом, множество алгебраических точек всюду плотно на многообразии, и поэтому однозначно его определяет.

Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры, теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала ${\displaystyle J}$ справедлива формула:

${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}}$

где ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$ — радикал идеала ${\displaystyle J}$, а ${\displaystyle {\hbox{I}}(U)}$ — идеал, состоящий из всех многочленов, равных нулю на множестве ${\displaystyle U}$.

Из этого следует, что операции ${\displaystyle {\hbox{I}}}$ и ${\displaystyle {\hbox{V}}}$ задают биективное, обращающее порядок по включению соответствие между алгебраическими множествами в ${\displaystyle K^{n}}$ и радикальными идеалами в ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$.

Существует также соответствие между однородными идеалами в кольце многочленов и алгебраическими множествами в проективном пространстве, называемое проективной Nullstellensatz^[5]. Пусть ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$, ${\displaystyle R_{d}}$ — множество однородных многочленов степени ${\displaystyle d}$. Тогда

${\displaystyle R_{+}=\bigoplus _{d\geq 1}R_{d}}$

называется максимальным однородным идеалом. Как и в аффинном случае, введём обозначения: для подмножества ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$ и однородного идеала ${\displaystyle I}$ пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}|f(x)=0\;\forall x\in S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}|f(x)=0\;\forall f\in I\}.\end{aligned}}}$

Напомним, что ${\displaystyle f}$ не является функцией на проективном пространстве, однако из однородности этого многочлена следует, что множество точек с однородными координатами ${\displaystyle x}$, в которых ${\displaystyle f(x)=0}$, определено корректно. Теперь, для произвольного однородного идеала ${\displaystyle I\in R_{+}}$ верно

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)).}$

Теорему можно рассматривать как утверждение о том, что любой простой идеал кольца ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ является пересечением максимальных идеалов, его содержащих, что приводит к понятию колец Джекобсона, которые являются такими кольцами, в которых каждый радикальный идеал является пересечением максимальных идеалов. Учитывая лемму Зарисского, доказательство этой теоремы равносильно показу того, что если ${\displaystyle k}$ является полем, то каждая конечно порождённая k -алгебра ${\displaystyle R}$ (обязательно вида ${\textstyle R=k[t_{1},\cdots ,t_{n}]/I}$) — кольцо Джекобсона. В более общем смысле имеет место следующая теорема:

Пусть ${\displaystyle R}$ — кольцо Джекобсона. Если ${\displaystyle S}$ является конечно порождённой ${\displaystyle R}$-алгеброй, то ${\displaystyle S}$ является кольцом Джекобсона. Более того, если ${\displaystyle {\mathfrak {n}}\subseteq S}$ — максимальный идеал, то ${\displaystyle {\mathfrak {m}}:={\mathfrak {n}}\cap R}$ является максимальным идеалом ${\textstyle R}$, а ${\displaystyle S/{\mathfrak {n}}}$ конечным расширением ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$. 

Другие обобщения исходят из рассмотрения Nullstellensatz в терминах теории схем, как утверждения, что для любого поля ${\displaystyle k}$ и ненулевой конечно порождённой ${\displaystyle k}$ -алгебры ${\displaystyle R}$ морфизм ${\textstyle \mathrm {Spec} \,R\to \mathrm {Spec} \,k}$ допускает раздел (эквивалентно, после замены ${\textstyle \mathrm {Spec} \,L\to \mathrm {Spec} \,k}$ на ${\textstyle L/k}$ для некоторого конечного расширения поля). В этом ключе имеет место следующая теорема:

Любой плоский морфизм ${\textstyle f:Y\to X}$ локально конечного представления допускает квазисечение в том смысле, что существует строго плоский и локально квазиконечный морфизм ${\textstyle g:X'\to X}$, локально конечного представления, так что изменение базы ${\textstyle f':Y\times _{X}X'\to X'}$ из ${\textstyle f}$ в ${\textstyle g}$допускает раздел. Более того, если ${\textstyle X}$ является квазикомпактным (соответственно квазикомпактным и квазиразделённым), то взяв ${\textstyle X'}$как аффинный (соотв. аффинный ${\textstyle X'}$ и квазиконечный ${\textstyle g}$), а ${\textstyle f}$ гладко сюръективный, то получим ${\textstyle g}$ этальный^[6].

Серж Ленг расширил данную теорему на случай бесконечного числа генераций:

Пусть ${\textstyle \kappa }$ — кардинальное число, а ${\textstyle K}$ — алгебраически замкнутое поле степень трансцендентности которого над его простым подполем строго больше, чем ${\displaystyle \kappa }$. Тогда для любого набора ${\textstyle S}$ чисел ${\textstyle \kappa }$, кольцо многочленов ${\textstyle A=K[x_{i}]_{i\in S}}$ удовлетворяет условию Nullstellensatz, то есть для любого идеала ${\textstyle J\subset A}$ выполняется ${\displaystyle {\sqrt {J}}={\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))}$^[7].