Мюррей был выбран под общим 9-м номером на драфте WHL 2008 года командой «Эверетт Силвертипз». Позже он был выбран капитаном команды в 18 лет.
22 июня 2012 года Райан был выбран в первом раунде под общим 2-м номером на драфте НХЛ 2012 года командой «Коламбус Блю Джекетс»[4]. Дебют защитника в НХЛ был отложен на год из-за травмы плеча, поэтому он начал выступать за команду в сезоне 2013/14. 25 октября 2013 года он забросил свою первую шайбу в лиге в матче против «Торонто Мэйпл Лифс»[5].
На протяжении карьеры Мюррей часто сталкивался с травмами (спины, колена, ног и переломом руки), что сильно повлияло на его выступления[6]. В сезоне 2014/15 из-за травм ног он принял участие лишь в 7 матчах[7]. В сезонах 2017/18 и 2019/20 он пропускал по 34 матча подряд из-за проблем со спиной. К началу 2018 года он пропустил 141 игру с момента своего дебюта в НХЛ[6][8].
1 июля 2019 года Мюррей подписал с «Коламбусом» новый двухлетний контракт[4]. 8 октября 2020 года он был обменян в «Нью-Джерси Девилз» на право выбора в пятом раунде драфта НХЛ 2021 года[9].
В сезоне 2021/22 выступал за «Колорадо Эвеланш», проведя 37 матчей в регулярном чемпионате[3]. Весной 2022 года пропустил около двух месяцев из-за травмы руки. В матчах плей-офф участия не принимал, однако по итогам сезона был официально признан обладателем Кубка Стэнли[3].
2 сентября 2022 года подписал однолетний контракт с «Эдмонтон Ойлерз». В сезоне 2022/23 сыграл за команду 13 матчей (последний матч в НХЛ провёл 21 ноября 2022 года)[11]. В апреле 2023 года после длительного восстановления от травмы спины был переведён в фарм-клуб «Бейкерсфилд Кондорс» в АХЛ, где провёл 2 матча[12].
Мюррей принял участие в молодёжном чемпионате мира 2012, проходившим в Калгари и Эдмонтоне, где завоевал бронзу. Он стал первым за долгое время игроком сборной Канады на чемпионате мира ещё не выбранным на драфте. Райан стал вторым самым молодым игроком сборной Канады игравших когда-либо на чемпионатах мира (первый Пол Кария в 1993 году).
На чемпионате мира 2016 года завоевал золото.
На чемпионате мира 2018 года провёл 10 матчей и отдал одну результативную передачу.
.svg){kind=small}
