Прямая Ньютона

Если в четырёхугольнике ни одна из пар противоположных сторон не параллельна, то две середины его диагоналей лежат на прямой, которая проходит через середину отрезка, соединяющего точки пересечения этих противоположных сторон. Указанная прямая называется прямой Ньютона (на рисунке показана жирной линией)^[2].

Эквивалентная формулировка — если прямая, не проходящая через вершины треугольника ${\displaystyle ABC}$, пересекает его стороны ${\displaystyle BC,CA,AB}$ соответственно в точках ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1}}$, то середины отрезков ${\displaystyle AA_{1},BB_{1},CC_{1}}$ коллинеарны^[3].

• Прямая Ньютона перпендикулярна прямой Обера^[7].
• На прямой Ньютона также лежит точка пересечения двух средних линий, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника (первая и вторая средние линии четырёхугольника)^[8].
• Теорема Анна, названная в честь французского математика Пьера Леона Анна (фр. Pierre-Léon Anne, 1806—1850), утверждает: в любом четырёхугольнике ${\displaystyle ABCD}$, не являющемся параллелограммом, прямая Ньютона является геометрическим местом точек ${\displaystyle O}$, для которых

  ${\displaystyle S(\triangle AOB)+S(\triangle COD)=S(\triangle BOC)+S(\triangle DOA)}$,

где ${\displaystyle S(\triangle AOB)}$ — площадь треугольника ${\displaystyle AOB}$^[9].

• Замечание 1. Если точка ${\displaystyle O}$ лежит внутри четырёхугольника, все четыре площади обычные. Если ${\displaystyle O}$ лежит вне четырёхугольника, равенство следует понимать через ориентированные площади^[10].
• Замечание 2 (обратная формулировка). Если для точки ${\displaystyle O}$ выполнено равенство ${\displaystyle S(\triangle AOB)+S(\triangle COD)=S(\triangle BOC)+S(\triangle DOA)}$, то ${\displaystyle O}$ лежит на прямой Ньютона^[11].
• Замечание 3. По теореме Ньютона прямая Ньютона описанного четырёхугольника проходит через центр P его вписанной окружности. Для центра P вписанной окружности четырёхугольника теорема Анна очевидна, поскольку в описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, а высоты четырёх треугольников в теореме Анна с общей вершиной P, на которые разбивается четырёхугольник точкой P, одинаковы и равны радиусу вписанной окружности четырёхугольника^[12].

Пусть вершины четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ имеют декартовы координаты

${\displaystyle A(x_{1},y_{1}),\quad B(x_{2},y_{2}),\quad C(x_{3},y_{3}),\quad D(x_{4},y_{4}).}$

Середины диагоналей ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ имеют координаты

${\displaystyle M\left({\frac {x_{1}+x_{3}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{3}}{2}}\right),\quad N\left({\frac {x_{2}+x_{4}}{2}},{\frac {y_{2}+y_{4}}{2}}\right).}$

Прямая Ньютона — это прямая, проходящая через точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$. Её уравнение можно записать в виде

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\{\frac {x_{1}+x_{3}}{2}}&{\frac {y_{1}+y_{3}}{2}}&1\\{\frac {x_{2}+x_{4}}{2}}&{\frac {y_{2}+y_{4}}{2}}&1\end{vmatrix}}=0,}$

что является стандартной формой уравнения прямой, проходящей через две заданные точки^[13].

Прямая Ньютона — Гаусса — прямая, соединяющая середины трёх диагоналей полного четырёхсторонника^[14].

Середины двух диагоналей выпуклого четырёхугольника, у которого имеется не более двух параллельных сторон, различны и поэтому определяют прямую (прямую Ньютона). Если же стороны такого четырёхугольника продолжить, чтобы получился полный четырёхсторонник, диагонали четырёхугольника останутся диагоналями всего четырёхугольника, а прямая Ньютона четырёхугольника называется прямой Ньютона — Гаусса полного четырёхсторонника. Поскольку три середины диагоналей полного четырёхсторонника коллинеарны, прямая Ньютона — Гаусса совпадает с прямой Ньютона исходного четырёхугольника^[15].