Промежутки знакопостоянства функции

Пусть ${\displaystyle E}$ — множество чисел и пусть в силу некоторого вполне определённого закона каждому числу ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle E}$ приведено в соответствие (одно) число ${\displaystyle y}$. Говорят, что на ${\displaystyle E}$ задана функция (однозначная), которую записывают так: ${\displaystyle y=f(x)}$, где ${\displaystyle x\in E}$.

Это определение функции предложено Н. И. Лобачевским и Дирихле. Множество ${\displaystyle E}$ называют областью задания, или определения, функции ${\displaystyle f(x)}$. Говорят также, что задана независимая переменная ${\displaystyle x}$ (называемая аргументом), которая может принимать частные значения ${\displaystyle x}$ из множества ${\displaystyle E}$, и каждому ${\displaystyle x\in E}$ в силу упомянутого закона приведено в соответствие определённое значение (число) другой переменной ${\displaystyle y}$, называемой функцией, или зависимой переменной.

Символ ${\displaystyle f(x)}$ обозначает число ${\displaystyle y}$, которое в силу закона ${\displaystyle f}$ соответствует значению ${\displaystyle x\in E}$. Если, например, число ${\displaystyle 1}$ принадлежит области ${\displaystyle E}$ задания функции ${\displaystyle f}$, то ${\displaystyle f(1)}$ есть значение функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x=1}$. Если ${\displaystyle 1}$ не принадлежит ${\displaystyle E}$, то говорят, что функция ${\displaystyle f}$ не определена в точке ${\displaystyle x=1}$.

Множество ${\displaystyle E_{1}}$ всех значений ${\displaystyle y=f(x)}$, где ${\displaystyle x\in E}$, называется областью значений функции ${\displaystyle f}$^[1].

Функция одного переменного, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, приращение которой ${\displaystyle \Delta f(x)=f(x')-f(x)}$ при ${\displaystyle \Delta x=x'-x>0}$ не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно, называется монотонной. Если ${\displaystyle \Delta f(x)}$ строго больше (меньше) нуля, когда ${\displaystyle \Delta x>0}$, то монотонная функция называется строго монотонной. Промежутки монотонности функции — это промежутки, на которых функция возрастает или убывает^[2].

Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы её производная была во всех точках интервала неотрицательна (неположительна). Если производная функции во всех точках интервала положительна (отрицательна), то функция строго возрастает (строго убывает)^[3].

Функция ${\displaystyle f(x)}$, определённая на некотором числовом множестве ${\displaystyle E}$, называется возрастающей, если при

${\displaystyle x^{\prime }<x^{\prime \prime },\quad x^{\prime },x^{\prime \prime }\in E}$ выполняется неравенство ${\displaystyle f(x^{\prime })<f(x^{\prime \prime })}$.

Иногда такие функции называют строго возрастающими, а термин «возрастающая функция» применяется к функциям, удовлетворяющим для указанных ${\displaystyle x^{\prime }}$ и ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ лишь условию ${\displaystyle f(x')\leq f(x'')}$ (неубывающая функция)^[4].

Функция ${\displaystyle f(x)}$, определённая на некотором числовом множестве ${\displaystyle E}$, называется убывающей, если при

${\displaystyle x^{\prime }<x^{\prime \prime },\quad x^{\prime },x^{\prime \prime }\in E}$ выполняется неравенство ${\displaystyle f(x^{\prime })>f(x^{\prime \prime })}$.

Иногда такие функции называют строго убывающими, а термин «убывающая функция» применяется к функциям, удовлетворяющим для указанных ${\displaystyle x^{\prime }}$ и ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ лишь условию ${\displaystyle f(x')\geq f(x'')}$ (невозрастающая функция)^[5].

Нулём функции ${\displaystyle f(x)}$ называется такое значение аргумента ${\displaystyle x_{0}}$ из её области определения, при котором функция обращается в нуль, то есть ${\displaystyle f(x_{0})=0}$. Нуль функции${\displaystyle f(x)}$ — то же самое, что и корни соответствующего уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$. Нуль функции одного переменного ${\displaystyle f(x)}$ соответствуют точкам пересечения графика ${\displaystyle y=f(x)}$ с осью ${\displaystyle Ox}$ или точками касания оси ${\displaystyle Ox}$^[6].

Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка, включая оба конца.

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на замкнутом промежутке ${\displaystyle (a,b)}$. Тогда она обладает следующими свойствами.

1. Среди значений, которые функция принимает в точках данного промежутка, имеется наибольшее и наименьшее.
   • Замечание. Среди значений, которые принимает функция ${\displaystyle f(x)}$ в точках незамкнутого промежутка ${\displaystyle (a,b)}$, может не быть наибольшего или наименьшего.
2. Если ${\displaystyle m}$ есть значение функции ${\displaystyle f(x)}$ при ${\displaystyle x=a}$ и ${\displaystyle n}$ — значение ${\displaystyle f(x)}$ при ${\displaystyle x=b}$ , то функция ${\displaystyle f(x)}$ принимает внутри промежутка ${\displaystyle (a,b)}$ по крайней мере по одному разу всякое значение ${\displaystyle p}$, заключённое между ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$.
   • Замечание. Разрывная функция может не обладать этим свойством. В частности, если на одном конце промежутка функция имеет положительное, а на другом — отрицательное значение, то внутри промежутка она по крайней мере один раз обращается в нуль^[7].

Если функция не является непрерывной в некоторой точке, то говорят, что она имеет разрыв в этой точке.

На рисунке при ${\displaystyle -10<x<-4}$; ${\displaystyle 0<x<5}$ и ${\displaystyle x>10}$ функция принимает только положительные значения ${\displaystyle y>0}$, а при ${\displaystyle x<-10}$; ${\displaystyle -4<x<0}$; ${\displaystyle 5<x<10}$ функция принимает только отрицательные значения ${\displaystyle y<0}$.

График функции