Наибольшее и наименьшее значения функции

Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции, необходимо понять, какое наименьшее или наибольшее численное значение принимает ${\displaystyle y}$ — зависимая переменная.

Наибольшее значение функции ${\displaystyle y=f(x)}$ на некотором промежутке {${\displaystyle {a;b}}$} — это значение max ${\displaystyle max_{y=f(x_{0})}}$, ${\displaystyle x_{0}\in }$ {${\displaystyle {a;b}}$}, которое при любом значении ${\displaystyle x\in }$ {${\displaystyle {a;b}}$}, делает справедливым неравенство ${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})}$^[2].

Наибольшее значение функции ${\displaystyle y=f(x)}$ на некотором промежутке {${\displaystyle {a;b}}$} — это значение min ${\displaystyle min_{y=f(x_{0})}}$, ${\displaystyle x_{0}\in }$ {${\displaystyle {a;b}}$}, которое при любом значении ${\displaystyle x\in }$ {${\displaystyle {a;b}}$}, делает справедливым неравенство ${\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})}$^[3].

Самый простой способ определить ${\displaystyle y_{max}}$ и ${\displaystyle y_{min}}$ — рассмотреть график. Этот способ называется графическим способом определения наибольшего и наименьшего значений функции.

Если заданный интервал представлен прямой^[4]:

• при возрастающей функции: наименьшее значение функция примет при наименьшем аргументе и наоборот, наибольшее значение функции будет соответствовать наибольшему значению аргумента;
• при убывающей функции: наименьшее значение функция примет при наибольшем аргументе и наоборот, наибольшее значение функции будет соответствовать наименьшему значению аргумента.

Если заданный интервал представлен кривой^[5]:

• максимальное значение функции выглядит как вершина холма, горы, возвышенности, тогда как минимальное значение мы можем определить как самую низкую точку относительно этого пика;
• минимальное значение функции выглядит как дно низины, оврага, тогда как максимальное значение мы можем определить как самую высокую точку относительно этого пика.

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента. Производная функции показывает, как быстро увеличивается функция ${\displaystyle y(x)}$ при бесконечно малом увеличении ${\displaystyle x}$.

Нахождение производной означает проведение определённых действий с помощью таблицы производных функций.

Для этого определяют стационарную точку — точку, в которой значение аргумента производной функции равно нулю.

По теореме Ферма в стационарных точках определяется экстремум функции, поэтому можно сделать вывод, что на некотором промежутке в них можно определить и наибольшее или наименьшее значение функции.

1. Нахождение области определения данной функции и проверка, входит ли в неё заданный отрезок;
2. Нахождение производной данной функции;
3. Приравнивание производной к нулю и нахождение точки, в которых она обращается в нуль (решение уравнения);
4. Выбор из корней уравнения точек, которые попадают в заданный промежуток, и вычисление значения функции в них;
5. Нахождение значение функции в заданных точках.