Промежутки знакопостоянства

• Нули функции — значения аргумента, при которых функция обращается в нуль: ${\displaystyle f(x)=0}$. На графике функции это точки пересечения с осью абсцисс (осью x).

• Промежутки знакопостоянства — интервалы значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак. Они определяются на основе нулей функции и точек, в которых функция не определена (точки разрыва).

• Чётная функция — функция, удовлетворяющая условию ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ для всех x из области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси y).

• Нечётная функция — функция, для которой выполняется ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

• Возрастающая функция — функция, значения которой увеличиваются с ростом аргумента на некотором промежутке: если ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$, то ${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}$.

• Убывающая функция — функция, значения которой уменьшаются с ростом аргумента на некотором промежутке: если ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$, то ${\displaystyle f(x_{1})>f(x_{2})}$.

• Промежутки монотонности функции — интервалы, на которых функция является либо возрастающей, либо убывающей.

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции необходимо:

1. Найти нули функции, решив уравнение ${\displaystyle f(x)=0}$.

2. Определить точки, в которых функция не определена (точки разрыва).

3. Разбить область определения функции на интервалы с помощью найденных точек.

4. Определить знак функции на каждом интервале, подставив любое значение из интервала в функцию.

5. Записать промежутки, на которых функция положительна или отрицательна.

Найти нули и промежутки знакопостоянства функции: ${\displaystyle y={\dfrac {x^{2}-4x+3}{(x^{3}+x)^{2}}}}$.

1. Найдём нули функции:

  Решаем уравнение числителя: ${\displaystyle x^{2}-4x+3=0}$.

  Находим корни:
  ${\displaystyle D=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=4}$

  ${\displaystyle x_{1,2}={\dfrac {4\pm {\sqrt {4}}}{2}}={\dfrac {4\pm 2}{2}}}$

  ${\displaystyle x_{1}=1}$, ${\displaystyle x_{2}=3}$

2. Определяем точки, в которых функция не определена:

  Знаменатель равен нулю при ${\displaystyle (x^{3}+x)^{2}=0}$ ⇒ ${\displaystyle x^{3}+x=0}$

  Решаем уравнение:
  ${\displaystyle x(x^{2}+1)=0}$

  ${\displaystyle x=0}$

  (Корни ${\displaystyle x=\pm i}$ не являются действительными и не входят в область определения)

3. Разбиваем область определения на интервалы**:

  - ${\displaystyle (-\infty ;0)}$
  - ${\displaystyle (0;1)}$
  - ${\displaystyle (1;3)}$
  - ${\displaystyle (3;+\infty )}$

4. Определяем знак функции на каждом интервале:

  - Интервал ${\displaystyle (-\infty ;0)}$:

    Выбираем ${\displaystyle x=-1}$

    Числитель: ${\displaystyle (-1)^{2}-4\cdot (-1)+3=1+4+3=8>0}$

    Знаменатель: ${\displaystyle [(-1)^{3}+(-1)]^{2}=(-1-1)^{2}=(-2)^{2}=4>0}$

    Функция положительна.

  - Интервал ${\displaystyle (0;1)}$:

    Выбираем ${\displaystyle x=0.5}$

    Числитель: ${\displaystyle (0.5)^{2}-4\cdot 0.5+3=0.25-2+3=1.25>0}$

    Знаменатель: ${\displaystyle [(0.5)^{3}+0.5]^{2}=(0.125+0.5)^{2}=(0.625)^{2}>0}$

    Функция положительна.

  - Интервал ${\displaystyle (1;3)}$:

    Выбираем ${\displaystyle x=2}$

    Числитель: ${\displaystyle 2^{2}-4\cdot 2+3=4-8+3=-1<0}$

    Знаменатель: ${\displaystyle [2^{3}+2]^{2}=(8+2)^{2}=100>0}$

    Функция отрицательна.

  - Интервал ${\displaystyle (3;+\infty )}$:

    Выбираем ${\displaystyle x=4}$

    Числитель: ${\displaystyle 4^{2}-4\cdot 4+3=16-16+3=3>0}$

    Знаменатель: ${\displaystyle [4^{3}+4]^{2}=(64+4)^{2}=68^{2}>0}$

    Функция положительна.

5. Записываем промежутки знакопостоянства:

  - Положительна при ${\displaystyle x\in (-\infty ;0)\cup (0;1)\cup (3;+\infty )}$.

  - Отрицательна при ${\displaystyle x\in (1;3)}$.

  - Нули функции: ${\displaystyle x=1}$ и ${\displaystyle x=3}$.

Промежутки знакопостоянства функции помогают понять, где функция принимает положительные или отрицательные значения. Они важны при решении уравнений и неравенств, позволяя разбивать область определения на интервалы и анализировать поведение функции на каждом из них. Знание нулей функции и точек разрыва является ключевым для определения этих промежутков.