Предел Бекенштейна

Универсальная формулировка ограничения была первоначально открыта Яаковом Бекенштейном как неравенство

${\displaystyle S\leqslant {\frac {2\pi kRE}{\hbar c}},}$

где S — энтропия, k — постоянная Больцмана, R — радиус сферы, охватывающей данную систему, Е — суммарная масса-энергия, включая массу покоя, ħ — приведённая постоянная Планка, а c — скорость света. Несмотря на существенную роль гравитации, выражение не содержит гравитационной постоянной G.

В применении к информации, ограничение формулируется в виде

${\displaystyle I\leqslant {\frac {2\pi RE}{\hbar c\ln 2}},}$

где I — количество информации, выраженное как число битов, содержащихся в квантовых состояниях в сфере. Множитель ln 2 происходит от определения количества информации как логарифма по основанию 2 от числа квантовых состояний (${\displaystyle I=log_{2}O}$)^[5]. Используя эквивалентность массы и энергии, информационный предел может быть переформулирован как

${\displaystyle I\leqslant {\frac {2\pi cRm}{\hbar \ln 2}}\approx 2{,}5769082\cdot 10^{43}mR,}$

где m — масса системы в килограммах, а радиус R выражен в метрах.

Бекенштейн вывел предел, исходя из эвристических аргументов, касающихся чёрных дыр. Если существует система, нарушающая предел, то есть имеющая избыток энтропии, тогда, как утверждал Бекенштейн, можно было бы нарушить второй закон термодинамики, опустив систему в чёрную дыру. В 1995 году Тед Джекобсон показал, что уравнения Эйнштейна (уравнения гравитационного поля в общей теории относительности) могут быть выведены из предположения об истинности предела Бекенштейна и законов термодинамики^[6][7]. Однако, несмотря на ряд предложенных аргументов, которые показывали, что в той или иной форме предел неизбежно должен существовать для взаимной непротиворечивости законов термодинамики и общей теории относительности, точная формулировка предела была предметом дискуссий^{[8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18]}.

Вычисляемая по формуле Бекенштейна и Хокинга энтропия трёхмерных чёрных дыр точно насыщает предел Бекенштейна:

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

${\displaystyle A=4\pi r_{s}^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}},}$

${\displaystyle l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3},}$

${\displaystyle S={\frac {kA}{4l_{P}^{2}}}={\frac {4\pi kGM^{2}}{\hbar c}},}$

где k — постоянная Больцмана, A — двумерная площадь горизонта событий чёрной дыры в единицах планковской длины, ${\displaystyle l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3}}$.

Предел тесно связан с термодинамикой чёрных дыр, голографическим принципом и голографическим пределом Буссо в квантовой гравитации и может быть выведен из предполагаемой сильной формы последнего.

В среднем человеческий мозг обладает массой 1,5 кг и объёмом 1,26 л. Если мозг аппроксимировать сферой, её радиус будет 6,7 см.

Предел Бекенштейна для количества информации в таком случае составит около ${\displaystyle 2{,}6\cdot 10^{42}}$ бит, что представляет максимальное количество информации, необходимое для полного воссоздания среднего человеческого мозга вплоть до квантового уровня, а количество ${\displaystyle O=2^{I}}$ квантовых состояний человеческого мозга должно быть меньше примерно ${\displaystyle 10^{7{,}8\cdot 10^{41}}}$.