Правило Борна

Правило Борна гласит, что если наблюдаемая с дискретным спектром, соответствующая эрмитову оператору, измеряется в системе с нормированной волновой функцией ${\displaystyle \scriptstyle |\psi \rangle }$ (см. Бра и кет), то:

• результат измерения будет одним из собственных значений ${\displaystyle \lambda }$ матрицы ${\displaystyle A}$, и, далее
• вероятность измерения заданного собственного значения ${\displaystyle \lambda _{i}}$ будет равна

${\displaystyle P(\lambda _{i})=\langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$,

где ${\displaystyle P_{i}}$ — проектор на собственное подпространство ${\displaystyle A}$, соответствующее ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

В случае, когда собственное пространство ${\displaystyle A}$, соответствующее ${\displaystyle \lambda _{i}}$, одномерно и натянуто на нормированный собственный вектор ${\displaystyle \scriptstyle |\lambda _{i}\rangle }$, ${\displaystyle \scriptstyle P_{i}=|\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|}$, так что вероятность ${\displaystyle \scriptstyle P(\lambda _{i})=\langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$. Комплексное число ${\displaystyle \scriptstyle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ известно как амплитуда вероятности того, что вектору состояния ${\displaystyle \scriptstyle |\psi \rangle }$ присваивается собственный вектор ${\displaystyle \scriptstyle |\lambda _{i}\rangle }$. Правило Борна сводится к утверждению, что вероятность равна квадрату модуля амплитуды вероятности:

${\displaystyle P(\lambda _{i})=|\langle \lambda _{i}|\psi \rangle |^{2}}$.

Квадрат модуля амплитуды равен произведению амплитуды и комплексно сопряженного числа.

В случае, когда спектр ${\displaystyle A}$ не полностью дискретен, спектральная теорема доказывает существование определённой проекторнозначной меры ${\displaystyle Q}$, спектральной меры ${\displaystyle A}$. В этом случае

• вероятность того, что результат измерения лежит в измеримом множестве ${\displaystyle M}$, будет определяться ${\displaystyle \scriptstyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle }$.

Если мы получим волновую функцию ${\displaystyle \scriptstyle \psi }$ для одиночной бесструктурной частицы в позиционном пространстве, это сведется к утверждению, что функция плотности вероятности ${\displaystyle p(x,y,z)}$ для измерения положения в момент времени ${\displaystyle t_{0}}$ будет определяться так: ${\displaystyle p(x,y,z)=\scriptstyle |\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}}$.

Правило было сформулировано Максом Борном в статье в 1926 году^[3]. В данной работе Борн решал уравнение Шрёдингера для задачи рассеяния и, вдохновлённый работами Эйнштейна в области фотоэффекта^[4], пришёл к выводу (в примечании), что его правило даёт единственно возможную интерпретацию решения. В 1954 году за эту и другие работы Борн был удостоен Нобелевской премии по физике с формулировкой «За фундаментальные исследования по квантовой механике, особенно за его статистическую интерпретацию волновой функции» (вторую часть премии получил Вальтер Боте за изобретение метода совпадений)^[5].

Джон фон Нейман обсудил применение спектральной теории к правилу Борна в своей книге, изданной в 1932^[6].