Последовательности, способы задания последовательностей

• Член последовательности — элемент последовательности с определённым порядковым номером ${\displaystyle n}$, обозначается как ${\displaystyle a_{n}}$.
• Общий член — выражение, позволяющее вычислить любой член последовательности по его номеру.
• Носитель последовательности — множество элементов, составляющих последовательность.

Последовательности могут быть заданы различными способами:

Последовательность определяется формулой общего члена, выражающей зависимость ${\displaystyle a_{n}}$ от номера ${\displaystyle n}$.

• Пример:

  Последовательность квадратов натуральных чисел:
   ${\displaystyle a_{n}=n^{2}}$
   Члены последовательности: ${\displaystyle 1,4,9,16,\ldots }$

Каждый следующий член определяется через предыдущие с помощью рекуррентной формулы.

• Пример:

  Числа Фибоначчи:
   ${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}=0,\ a_{2}=1,\\a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},\ n\geq 3\end{cases}}}$
   Последовательность: ${\displaystyle 0,1,1,2,3,5,8,\ldots }$

Последовательность задаётся описанием на естественном языке без явной формулы.

• Пример:

  Последовательность простых чисел:
   ${\displaystyle 2,3,5,7,11,13,\ldots }$
   Здесь каждый следующий член — наименьшее простое число, большее предыдущего.

• Сходимость — последовательность называется сходящейся, если её члены приближаются к определённому значению (пределу) при ${\displaystyle n\to \infty }$.
• Предел последовательности — число, к которому стремятся члены последовательности при увеличении номера.
• Монотонность — последовательность называется возрастающей, если каждый следующий член не меньше предыдущего (${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}$), и убывающей, если каждый следующий член не больше предыдущего (${\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}$).
• Бесконечные и конечные последовательности — бесконечная последовательность имеет неограниченное число членов, конечная — ограниченное.

• Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему постоянного числа (разности) ${\displaystyle d}$:

 ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$
  Пример: ${\displaystyle 2,5,8,11,14,\ldots }$ при ${\displaystyle a_{1}=2}$, ${\displaystyle d=3}$

• Геометрическая прогрессия — последовательность, где каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на постоянное число (знаменатель) ${\displaystyle q}$:

 ${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}$
  Пример: ${\displaystyle 3,6,12,24,48,\ldots }$ при ${\displaystyle a_{1}=3}$, ${\displaystyle q=2}$

• Последовательность "посмотри-и-скажи" — каждый следующий член описывает цифры предыдущего.

  Пример:
   ${\displaystyle 1,11,21,1211,111221,\ldots }$
   Здесь:
    1 — "одна единица" ⇒ 11
    11 — "две единицы" ⇒ 21
    21 — "одна двойка, одна единица" ⇒ 1211

Понимание последовательностей и способов их задания является ключевым для изучения математического анализа и решения многих задач. Аналитический, рекуррентный и словесный способы позволяют гибко описывать различные последовательности, а знание их свойств помогает анализировать их поведение и применять в практических задачах.