Поведенческое моделирование

В рамках поведенческого подхода динамическая система определяется как тройка

${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$

где

• ${\displaystyle \mathbb {T} \subseteq \mathbb {R} }$ — множество времени, то есть множество моментов времени, на которых рассматривается эволюция системы;
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$ — пространство сигналов, множество значений, которые могут принимать переменные системы;
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$ — поведение системы, то есть множество сигналов, совместимых с законами системы.

(${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$ обозначает множество всех сигналов — функций из ${\displaystyle \mathbb {T} }$ в ${\displaystyle \mathbb {W} }$).

Запись ${\displaystyle w\in {\mathcal {B}}}$ означает, что функция ${\displaystyle w}$ является допустимой траекторией системы; ${\displaystyle w\notin {\mathcal {B}}}$ — что законы системы запрещают такую траекторию. До построения модели любые сигналы из ${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$ считаются возможными, после формирования модели — только ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Частные случаи:

• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} }$ — непрерывные по времени системы;
• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} }$ — дискретные по времени системы;
• ${\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{q}}$ — большинство физических систем;
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$ — конечное множество: дискретно-событийные системы.

Свойства системы формулируются в терминах поведения. Система ${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$ называется:

• линейной, если ${\displaystyle \mathbb {W} }$ — векторное пространство, а ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ — его линейное подпространство в ${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$;
• стационарной, если множество времени — действительные или натуральные числа и

${\displaystyle \sigma ^{t}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}}$ для любого ${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$,

где ${\displaystyle \sigma ^{t}}$ — оператор сдвига на ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle \sigma ^{t}(f)(t'):=f(t'+t)}$.

Линейность соответствует закону суперпозиции, а инвариантность ко времени означает, что сдвиг допустимой траектории снова приводит к допустимой траектории.

Линейная стационарная дифференциальная система — это динамическая система ${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q},{\mathcal {B}})}$, чьё поведение ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ описывается как множество решений системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: ${\displaystyle R(d/dt)w=0}$, где ${\displaystyle R}$ — матрица многочленов с вещественными коэффициентами. Коэффициенты ${\displaystyle R}$ задают параметры модели. Для определения поведения требуется уточнить, когда функция ${\displaystyle w:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$ считается решением уравнения ${\displaystyle R(d/dt)w=0}$. Для простоты часто рассматривают бесконечно дифференцируемые функции; возможно также рассматривать решения в смысле обобщённых функций (распределений), либо в пространстве ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\rm {local}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})}$. Тогда поведение:

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{w\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})~|~R(d/dt)w(t)=0{\text{ для всех }}t\in \mathbb {R} \}.}$

Такое представление называется ядерным представлением (kernel representation) динамической системы. Также распространены другие описания поведения: через передаточную функцию, пространство состояний, свёрточные представления.

Ещё одним важным способом описания является представление в виде образа (image representation), которое задаётся через латентную (скрытую) переменную ${\displaystyle \ell }$ и полиномиальную матрицу дифференциальных операторов ${\displaystyle M(d/dt)}$. В этом случае поведение определяется как:

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{w\in L_{2}(I,\mathbb {R} ^{m+p})\mid \exists \ell \in L_{2}(I,\mathbb {R} ^{m}){\text{ такой, что }}w=M(d/dt)\ell {\text{ почти всюду на }}I\},}$

где ${\displaystyle w}$ — наблюдаемые переменные (траектории системы), а ${\displaystyle I}$ — рассматриваемый интервал времени^[5].

В современных задачах управления на основе данных (Data-driven control) определение поведения расширяется для работы с конечными выборками. Использование конечных траекторий формализуется через Фундаментальную лемму Виллемса: при условии управляемости системы и достаточной персистентности возбуждения входного сигнала, ограниченное поведение ${\displaystyle {\mathcal {B}}|_{L}}$ (множество траекторий конечной длины ${\displaystyle L}$) может быть полностью параметризовано на основе одной измеренной траектории данных^[6][7]. К современным математическим расширениям относятся:

• Конечно-горизонтное представление (Finite-horizon data-driven representation): ограниченное поведение формализуется как образ матрицы Ганкеля, построенной по данным^[6].
• Гауссовские поведения (Gaussian behaviors): стохастическое расширение для учёта неопределённостей, где конечные траектории моделируются как многомерный гауссовский процесс^[8].

Доступные источники по поведенческому подходу см., например, в работах^[9].

Ключевой вопрос поведенческого подхода — может ли некоторая величина ${\displaystyle w_{1}}$ быть однозначно определена по наблюдаемой величине ${\displaystyle w_{2}}$ и модели. Если ${\displaystyle w_{1}}$ может быть определена по ${\displaystyle w_{2}}$ и модели, то ${\displaystyle w_{2}}$ называется наблюдаемой. В рамках математического моделирования переменная, которую требуется восстановить, часто называется скрытой переменной (latent variable), а наблюдаемая — явной переменной (manifest variable). Такие системы называются наблюдаемыми по скрытым переменным.