Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые, перпендикулярность прямых

Пересекающимися называются прямые, у которых есть хотя бы одна точка пересечения (прямые могут полностью совпасть друг с другом, и в таком случае общих точек будет бесконечное множество).

Признак: Если одна точка принадлежит данной прямой, а другая ей не принадлежит, то данная прямая и прямая, проходящая через эти точки, пересекаются.

Свойство: Через точку вне данной прямой можно провести бесконечно много прямых, пересекающих данную прямую.

Параллельными можно назвать те прямые, которые никогда не пересекутся.

Иными словами, параллельные — это те прямые, у которых нет ни одной общей точки. Данное определение справедливо только в том случае, если прямые находятся в одной плоскости, если же они не имеют общих точек, находясь в разных плоскостях, то они считаются скрещивающимися.

Когда хотят показать на письме, что одна прямая параллельная второй, то используют следующее обозначение a||b. Данная запись говорит, что прямая а параллельна прямой b.

Аксиома о параллельности прямых. Через некоторую точку на плоскости, которая не принадлежит данной прямой, можно провести единственную параллельную ей прямую. Если же рассматривать трёхмерное пространство, то можно провести бесконечное множество прямых, которые не будут пересекаться, но будут скрещивающимися.

Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (такая прямая называется секущей). При этом образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:

• Соответственные углы равны (Рис.1).
• Накрест лежащие углы равны (Рис.2).
• Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180° (Рис.3).

Рис.1: Соответственные углы равны, ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}}$.	Рис.2: Внутренние накрест лежащие углы равны, ${\displaystyle \alpha =\gamma _{1}}$.	Рис.3: Односторонние углы являются дополнительными, ${\displaystyle \alpha +\delta _{1}=180^{\circ }}$.

Признак: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Если ${\displaystyle a||c}$ и ${\displaystyle b||c}$, то ${\displaystyle a||b}$.

Свойства:

• Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при этом только одну.
• Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при этом только одну.
• Все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат с ними в одной плоскости.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. На чертеже отмечается горизонтальной линией и точкой сверху.

Признак: Если одна прямая лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Свойства:

• Через точку вне данной прямой можно провести бесконечно много скрещивающихся прямых.
• Для любых двух скрещивающихся прямых в пространстве существует третья прямая, которая является скрещивающейся для каждой из данных двух прямых

Прямые можно назвать только в том случае перпендикулярными, если они пересекаются под углом, равным 90°.

В пространстве через некоторую точку на прямой можно провести бесконечное множество перпендикулярных прямых. Однако, если речь идёт о плоскости, то через одну точку на прямой можно провести единственную перпендикулярную прямую.

Через каждую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести перпендикулярную ей прямую, и при этом только одну.

Две прямые на плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых на плоскости, то она перпендикулярна и другой прямой.