Обратные гиперболические функции

В комплексной плоскости главные значения функций можно определить формулами:

Функция ${\displaystyle f(x)}$	Выражение в элементарных функциях	Доказательство для вещественного аргумента
ареасинус ${\displaystyle \operatorname {arsh} \,z}$	${\displaystyle \ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)}$	Доказательство                                  ${\displaystyle \sqsupset z=\operatorname {sh} (x)={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}}$ ${\displaystyle \sqsupset t=e^{y}>0\Rightarrow 2z=t-{\frac {1}{t}}\Rightarrow t^{2}-2zt-1=0}$ - Образовано квадратное уравнение относительно переменной ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{1,2}={\frac {2z\pm {\sqrt {4z^{2}+4}}}{2}}=z\pm {\sqrt {z^{2}+1}}>0}$ ${\displaystyle t=z+{\sqrt {z^{2}+1}}\Rightarrow y=\operatorname {arsh} z=\ln {\Bigl (}z+{\sqrt {z^{2}+1}}{\Bigr )}}$
ареакосинус ${\displaystyle \operatorname {arch} \,z}$	${\displaystyle \ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\,)}$	Доказательство                                  ${\displaystyle \sqsupset z=\operatorname {ch} (x)={\frac {e^{y}+e^{-y}}{2}}}$ ${\displaystyle \sqsupset t=e^{y}>0\Rightarrow 2z=t+{\frac {1}{t}}\Rightarrow t^{2}-2zt+1=0}$ - Образовано квадратное уравнение относительно переменной ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{1,2}={\frac {2z\pm {\sqrt {4z^{2}-4}}}{2}}=z\pm {\sqrt {z^{2}-1}}>0}$ ${\displaystyle t=z+{\sqrt {z^{2}-1}}\Rightarrow y=\operatorname {arch} z=\ln {\Bigl (}z+{\sqrt {z^{2}-1}}{\Bigr )}}$
ареатангенс ${\displaystyle \operatorname {arth} \,z}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln {{\Biggl (}{\frac {1+z}{1-z}}{\Biggr )}}}$	Доказательство                                  ${\displaystyle \sqsupset z=\operatorname {th} (x)={\frac {e^{y}-e^{-y}}{e^{y}+e^{-y}}}}$ ${\displaystyle \sqsupset t=e^{y}\Rightarrow z={\frac {1-{\frac {1}{t}}}{1+{\frac {1}{t}}}}\Rightarrow z={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}}\Rightarrow zt^{2}+z=t^{2}-1}$ ${\displaystyle t={\sqrt {\frac {1+z}{1-z}}}\Rightarrow y=\operatorname {arth} z={\frac {1}{2}}\ln {\Biggl (}{\frac {1+z}{1-z}}{\Biggr )}}$
ареакотангенс ${\displaystyle \operatorname {arcth} \,z}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln {{\Biggl (}{\frac {z+1}{z-1}}{\Biggr )}}}$	Доказательство                                  ${\displaystyle \sqsupset z=\operatorname {cth} (x)={\frac {e^{y}+e^{-y}}{e^{y}-e^{-y}}}}$ ${\displaystyle \sqsupset t=e^{y}\Rightarrow z={\frac {1+{\frac {1}{t}}}{1-{\frac {1}{t}}}}\Rightarrow z={\frac {t^{2}+1}{t^{2}-1}}\Rightarrow zt^{2}-z=t^{2}+1}$ ${\displaystyle t={\sqrt {\frac {z+1}{z-1}}}\Rightarrow y=\operatorname {arcth} z={\frac {1}{2}}\ln {\Biggl (}{\frac {z+1}{z-1}}{\Biggr )}}$
ареасеканс ${\displaystyle \operatorname {arcsech} \,z}$	${\displaystyle \ln {{\Biggl (}{\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}{\Biggr )}}}$	Доказательство                                  ${\displaystyle \sqsupset z=\operatorname {sech} (x)={\frac {1}{e^{y}+e^{-y}}}}$ ${\displaystyle \sqsupset t=e^{y}>0\Rightarrow z={\frac {1}{1+{\frac {1}{t}}}}\Rightarrow z={\frac {2t}{t^{2}+1}}\Rightarrow zt^{2}+z=2t\Rightarrow zt^{2}-2t+z=0}$ - Образовано квадратное уравнение относительно переменной ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{1,2}={\frac {2\pm {\sqrt {4-4z^{2}}}}{2z}}={\frac {1\pm {\sqrt {1-z^{2}}}}{z}}>0}$ ${\displaystyle t={\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\Rightarrow y=\operatorname {arsech} z=\ln {\Biggl (}{\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}{\Biggr )}}$
ареакосеканс ${\displaystyle \operatorname {arcsch} \,z}$	${\displaystyle \ln {{\Biggl (}{\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}{\Biggr )}}}$	Доказательство                                  ${\displaystyle \sqsupset z=\operatorname {csch} (x)={\frac {1}{e^{y}-e^{-y}}}}$ ${\displaystyle \sqsupset t=e^{y}>0\Rightarrow z={\frac {1}{1+{\frac {1}{t}}}}\Rightarrow z={\frac {2t}{t^{2}-1}}\Rightarrow zt^{2}-z=2t\Rightarrow zt^{2}-2t-z=0}$ - Образовано квадратное уравнение относительно переменной ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{1,2}={\frac {2\pm {\sqrt {4+4z^{2}}}}{2z}}={\frac {1\pm {\sqrt {1+z^{2}}}}{z}}>0}$ ${\displaystyle t={\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\Rightarrow y=\operatorname {arcsch} z=\ln {\Biggl (}{\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}{\Biggr )}}$

Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня (то есть ${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\varphi /2},}$ если представить комплексное число z как ${\displaystyle z=re^{i\varphi }}$ при ${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$), а логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например ${\displaystyle {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1}},}$ которые не всегда верны для главных значений квадратных корней.

Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arch} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcth} \,x=\operatorname {arth} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned}}}$

Асимптотическое разложение arsh x даётся формулой

${\displaystyle \operatorname {arsh} \,x=\ln 2x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}.}$

Функция ${\displaystyle f(x)}$	Производная ${\displaystyle f'(x)}$	Примечание
${\displaystyle \mathrm {arsh} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$	Доказательство                                  ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1}})})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1}})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}})={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}})={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2}+1}})}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arch} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	Доказательство                                  ${\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1}})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}})={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}})={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2}-1}})}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arth} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}$	Доказательство                                  ${\displaystyle ({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2}}\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl (}{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arcth} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}$	Доказательство                                  ${\displaystyle ({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2}}\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl (}{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arsech} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arcsch} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}}$

Для действительных x:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}=\mp {\frac {1}{x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}=\mp {\frac {1}{x\,{\sqrt {1+x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0.\end{aligned}}}$

Пример дифференцирования: если θ = arsh x, то:

${\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsh} \,x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\operatorname {sh} \theta }}={\frac {1}{\operatorname {ch} \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sh} (\operatorname {arch} \,x)={\sqrt {x^{2}-1}},\quad \quad |x|>1;\\&\operatorname {sh} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \quad -1<x<1;\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arsh} \,x)={\sqrt {1+x^{2}}};\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \quad -1<x<1;\\&\operatorname {th} (\operatorname {arsh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}};\\&\operatorname {th} (\operatorname {arch} \,x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\quad \quad |x|>1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \operatorname {arsh} \;u\pm \operatorname {arsh} \;v=\operatorname {arsh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right).}$

${\displaystyle \operatorname {arch} \;u\pm \operatorname {arch} \;v=\operatorname {arch} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right).}$

${\displaystyle \operatorname {arth} \;u\pm \operatorname {arth} \;v=\operatorname {arth} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \;u+\operatorname {arch} \;v&=\operatorname {arsh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arch} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right).\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arch} x&=\operatorname {arch} (2x^{2}-1),&\quad \quad x\geq 1;\\4\operatorname {arch} x&=\operatorname {arch} (8x^{4}-8x^{2}+1),&\quad \quad x\geq 1;\\2\operatorname {arsh} x&=\operatorname {arch} (2x^{2}+1),&\quad \quad x\geq 0;\\4\operatorname {arsh} x&=\operatorname {arch} (8x^{4}+8x^{2}+1),&\quad \quad x\geq 0.\\\end{aligned}}}$