Нечёткие множества и системы типа 2

Для различия между нечётким множеством типа 1 и нечётким множеством типа 2 принято использовать тильду над обозначением множества: обычное множество типа 1 обозначается буквой A, а соответствующее множество типа 2 — Ã. Такое множество называется «общим нечётким множеством типа 2» (general type-2 fuzzy set) для отличия от специального случая — интервального нечёткого множества типа 2.

На этом Лотфи Заде (англ. Zadeh), однако, не остановился^[1]: в той же статье 1976 года он обобщил концепцию до нечётких множеств типа n. В данной статье рассматриваются в первую очередь нечёткие множества типа 2 как следующий логический шаг от типа 1 к типу n, где n = 1, 2, ... Несмотря на то что отдельные исследователи уже начали изучать множества более высокого типа, по состоянию на начало 2009 года эта область находится на ранней стадии развития.

Функция принадлежности общего нечёткого множества типа 2, обозначаемого Ã, является трёхмерной (рис. 1), где третье измерение — это значение функции принадлежности в каждой точке её двумерного основания, называемого «след неопределённости» (англ. footprint of uncertainty, FOU).

В интервальном нечёткому множестве типа 2 эта третья координата постоянна (например, равна 1) во всех точках, то есть третье измерение не даёт новой информации. Поэтому для таких множеств третье измерение обычно опускается, и для их описания используется только FOU. В связи с этим интервальное нечёткое множество типа 2 часто называют моделью нечётких множеств первого порядка (first-order uncertainty), а общее нечёткое множество типа 2 с полезным третьим измерением — моделью второго порядка (second-order uncertainty).

След неопределённости (FOU) соответствует «размытому» нечёткому множеству типа 1 и полностью определяется двумя ограничивающими функциями (рис. 2): нижней функцией принадлежности (LMF) и верхней функцией принадлежности (UMF), обе из которых являются нечёткими множествами типа 1. Благодаря этому для интервальных нечётких множеств типа 2 применимы методы математики нечётких множеств типа 1, что облегчает освоение и практическое применение интервальных множеств для специалистов, знакомых только с теорией типа 1.

Исследования по нечётким множествам типа 2 затормозились в 1980-х и начале 1990-х годов, хотя ряд публикаций всё же появлялся. Основное внимание тогда уделялось множества типа 1, и, несмотря на то что Лотфи Заде предложил концепцию множества типа 2 ещё в 1976 году, потребовалось время, чтобы исследователи переключили внимание на новый класс. Ситуация изменилась во второй половине 1990-х годов благодаря работам Джерри Мендела (англ. Jerry Mendel) и его студентов по множествам и системам типа 2^[3]. С тех пор активность исследований и число публикаций по теме в мире росло.

Наибольшее внимание исследователей привлекли интервальные нечёткие множества типа 2, поскольку необходимый для них математический аппарат — в первую очередь интервальная арифметика — значительно проще, чем для общих множеств типа 2. Литература по интервальным нечётким множествам очень обширна, тогда как по общим множествам она сравнительно небольшая. Оба подхода активно развиваются и применяются для успешного решения прикладных задач, например, в управлении роботами^[4].

Для интервальных нечётких множеств типа 2 разработаны:

• Операции над нечёткими множествами: объединение, пересечение и дополнение^[3][5]
• Центроид (широко используемая операция и важная мера неопределённости)^[3][6][7]
• Другие меры неопределённости: размытость, мощность, дисперсия и асимметрия^[8] и границы неопределённости^[9]
• Меры близости^[10][11][12]
• Отношение подмножества^[13]
• Вложенные нечёткие множества^[14][15][16]
• Ранжирование нечётких множеств^[12]
• Ранжирование и выбор нечётких правил^[17]
• Методы приведения типа^[3][6]
• Интервалы активации для интервальной нечёткой логической системы типа 2^[3][18][19]
• Взвешенное среднее для нечётких данных^[20]
• Взвешенное среднее для лингвистических переменных^[21]
• Построение FOU по данным, собранным с группы респондентов^[22]

Нечёткие множества типа 2 получили широкое распространение в нечётких логических системах (FLS) на базе правил, поскольку позволяют явно моделировать неопределённости, невозможные для учёта с помощью множества типа 1. Блочная схема такой системы типа 2 показана на рис. 3. Эти системы применяются в управлении, обработке сигналов, классификации и других задачах; их также называют приложениями типа «аппроксимация функций», когда FLS настраивается на минимизацию функции ошибки.

Описание четырёх компонент, представленных на схеме (рис. 3), приведено для интервальной системы типа 2, поскольку такие системы наиболее распространены на практике; однако большинство моментов применимо и к общим нечётким системам типа 2.

Правила, получаемые как от экспертов, так и путём анализа данных, формулируются как набор операторов IF-THEN (ЕСЛИ–ТО), например:

ЕСЛИ температура — «умеренная», И давление — «высокое», ТО повернуть вентиль «немного вправо».

Нечёткие множества сопоставляются с термами, встречающимися в посылках (части IF) и заключениях (части THEN) правил, а также с входными и выходными переменными системы. Для описания этих множеств используются функции принадлежности: в системах типа 1 все функции — типа 1, а в интервальных системах типа 2 хотя бы одна функция — интервального типа 2.

С помощью интервальной нечёткой логической системы типа 2 можно формализовать несколько видов неопределённости:

1. Слова в правилах, поскольку значения лингвистических терминов различны для разных людей.
2. Неопределённость заключений, ведь если выводятся из группы экспертов, значения могут различаться.
3. Неопределённость в параметрах функций принадлежности, возникающая вследствие обучения на неточных (зашумлённых) данных.
4. Зафиксированные шумовые измерения, часто играющие роль триггера системы.

На рис. 3 первоначальные (чёткие) входные данные поступают в блок нечеткостификации (Fuzzifier), где они преобразуются в нечёткие множества: именно они, а не числа, активируют правила системы. Возможны три вида нечеткостификации:

• Если измерения точны — вход преобразуется в чёткое множество,
• Если есть стационарный шум — как нечёткое множество типа 1,
• Если шум нестационарный — как интервальное нечёткое множество типа 2 (последнее невозможно в системах типа 1).

После нечеткостификации входные нечёткие множества поступают в блок вывода (Inference), где с помощью теории нечётких множеств и специального механизма устанавливается выход каждого правила. Если всего M правил, то активируется (обычно) лишь их подмножество; вывод осуществляется по одному правилу за раз, и на выходе этого блока формируется один или несколько выходных нечётких множеств.

В большинстве инженерных задач требуется получить численное значение (а не нечёткое множество), например: «повернуть вентиль немного вправо» — это лингвистический результат, который должен быть переведён в числовое значение, то есть угол поворота. Поэтому выходные множества переводятся в число в блоке Output Processing на схеме.

В FLS типа 1 этот этап называется дефаззификация — функция принадлежности преобразуется в число (например, через вычисление центра тяжести функции или взвешенного среднего центров тяжести возможных заключений).

В интервальных системах типа 2 процедура сложнее — преобразование интервального нечёткого множества в число обычно занимает два шага (см. рис. 3). Первый шаг — «приведение типа» (type-reduction) — это перевод интервального множества типа 2 к интервальному множеству типа 1; число методов приведения типа соотносится с числом методов дефаззификации. Классический итерационный алгоритм Карника—Мендела^[3][6] применяется для этой задачи; несмотря на итерационный характер, он очень быстр.

Второй шаг — уже собственно дефаззификация: поскольку приведённое множество представляет собой конечный интервал чисел, окончательный числовой выход находят как среднее двух концов этого интервала.

Очевидно, что интервальная FLS типа 2 может выдавать как чёткие численные значения, так и интервальное множество — последнее служит естественной оценкой уровня неопределённости, прошедшей через систему вследствие неопределённых (или зашумлённых) входов и/или нечётких термов в правилах. Аналогично тому, как стандартное отклонение интерпретируется как мера разброса в вероятностных моделях, приведённое множество отражает уровень неопределённости итогового результата нечёткой системы типа 2.

Ещё одним направлением применения нечётких множеств стала инициированная Лотфи Заде задача «вычислений со словами» (англ. Computing with Words — CWW)^[23][24][25]. По определению Заде:

CWW — это методология, в которой объектами вычислений служат слова и утверждения из естественного языка. Она вдохновлена уникальной способностью человека выполнять широкий спектр физических и ментальных задач без измерений и вычислений.

При этом речь не идёт о прямом вычислении со словами вместо чисел: под этим подразумевается, что компьютер получает «на вход» слова, переводит их в математическую форму через нечёткие множества, далее применяет к ним специальный механизм преобразования (CWW engine), и в результате получает новое нечёткое множество, после чего результат вновь переводится в слово. Возникает вопрос: какой тип нечёткого множества использовать для моделирования слова — типа 1 или типа 2? На основании концепции «фальсификационизма» К. Поппера^[25][26], Джерри Мендел^[27][28] утверждает, что с научной точки зрения для представления слов нельзя использовать множества типа 1 — более корректно применять интервальные нечёткие множества типа 2 (модель неопределённости первого порядка). Исследования по CWW активно продолжаются.

Нечёткие множества типа 2 нашли применение в следующих областях:

• Обработка изображений^[29][30]
• Обработка видео и компьютерное зрение^[31][32]
• анализ видов и последствий отказов^[33]
• Аппроксимация функций и оценивание^[34]
• системы управления^[35]

Бесплатные реализации в MATLAB, охватывающие общие и интервальные нечёткие множества и системы типа 2, а также системы типа 1, доступны по адресу: http://sipi.usc.edu/~mendel/software

Программное обеспечение для дискретных интервальных нечётких логических систем типа 2:

• DIT2FLS Toolbox — http://dit2fls.com/projects/dit2fls-toolbox/
• DIT2FLS Library Package — http://dit2fls.com/projects/dit2fls-library-package/

Java-библиотеки с открытым исходным кодом для систем типа 1, интервальных и общих нечётких систем типа 2: http://juzzy.wagnerweb.net/

Python-библиотека для нечётких множеств типов 1 и 2: https://github.com/carmelgafa/type2fuzzy

Python-библиотека для интервальных нечётких множеств и систем типа 2: https://github.com/Haghrah/PyIT2FLS

Открытая MATLAB/Simulink-библиотека для интервальных нечётких логических систем типа 2: http://web.itu.edu.tr/kumbasart/type2fuzzy.htm