Нечёткая математика

В отличие от классической математики, обычно опирающейся на бинарное членство (элемент либо принадлежит множеству, либо нет), нечеткая математика допускает частичную принадлежность элементов к множеству, степень которой выражается числами из отрезка [0; 1]. Такой подход позволяет гибко моделировать неясные или размытые понятия.

Нечёткая математика применяется в различных областях: в теории управления, искусственном интеллекте, теории решений, распознавании образов, лингвистике и других сферах, где важно моделирование степеней и неопределённости.

Нечёткое подмножество A множества X определяется функцией A: X → L, где L обычно — отрезок [0; 1]. Эта функция называется функцией принадлежности нечёткого подмножества и каждой точке x из X ставит в соответствие степень принадлежности A(x) к нечёткому множеству A.

В классической теории множеств подмножество X задаётся индикаторной функцией (или характеристической функцией), которая принимает значения 0 или 1, обозначая непринадлежность или полную принадлежность элементу, соответственно. Нечёткие подмножества обобщают это понятие, позволяя функции принимать любые значения из отрезка [0; 1], что задаёт частичную принадлежность.

Более общо, область значений L функции принадлежности может быть любой полной решёткой, приводя к общей теории L-нечетких множеств^[2].

Развитие неклассической (нечёткой) математики можно условно разделить на три этапа:^[3]

1. Первые, прямолинейные фаззификации (1960–1970-е),
2. Расширение методов обобщения (1980-е),
3. Стандартизация, аксиоматизация и L-фаззификация (1990-е).

Под фаззификацией понимают расширение классических математических понятий, основанных на бинарной (чёткой) логике, где принадлежность определяется характеристическими функциями, к нечеткой логике, где принадлежность выражается числами из [0; 1] посредством функций принадлежности.

Пусть A и B — нечеткие подмножества множества X. Нечеткие аналоги теоретико-множественных операций определяются так:

$${\displaystyle (A\cap B)(x)=\min(A(x),B(x))}$$

$${\displaystyle (A\cup B)(x)=\max(A(x),B(x))}$$

для всех ${\displaystyle x\in X}$. Эти операции можно обобщать, используя t-нормы и t-конормы^[4]. Например, операцию минимума можно заменить умножением:

$${\displaystyle (A\cap B)(x)=A(x)\cdot B(x)}$$

Фаззификация алгебраических структур часто основана на обобщении свойства замкнутости. Пусть ${\displaystyle *}$ — бинарная операция на X, и A — нечеткое подмножество X. Тогда A удовлетворяет нечеткой замкнутости, если:

$${\displaystyle A(x*y)\geq \min(A(x),A(y))}$$

${\displaystyle x,y\in X}$

Если ${\displaystyle (G,*)}$ есть группа, то нечеткое подмножество A группы G называется нечёткой подгруппой, если:

$${\displaystyle A(x*y^{-1})\geq \min(A(x),A(y^{-1}))}$$

${\displaystyle x,y\in G}$

Аналогичные обобщения применяются к реляционным свойствам. Например, при фаззификации свойства транзитивности нечеткое отношение ${\displaystyle R}$ на ${\displaystyle X}$ (то есть нечеткое подмножество ${\displaystyle X\times X}$) называется нечётко транзитивным, если:

$${\displaystyle R(x,z)\geq \min(R(x,y),R(y,z))}$$

${\displaystyle x,y,z\in X}$

Нечёткие подгруппоиды и нечеткие подгруппы были введены А. Розенфельдом (англ. A. Rosenfeld) в 1971 году^[5][6][7].

Аналоги других разделов математики были перенесены в нечеткую математику: нечеткая теория полей и нечеткая теория Галуа^[8], нечеткая топология^[9][10], нечеткая геометрия^{[11][12][13][14]}, нечеткие порядки^[15] и нечеткие графы^[16][17][18].