Арифметические операции с действительными числами

• Сложение — закон, по которому каждой паре действительных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ ставится в соответствие число ${\displaystyle c=a+b}$, называемое их суммой. Числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ называются слагаемыми.

• Вычитание — операция, обратная сложению: ${\displaystyle b=c-a}$, где ${\displaystyle b}$ называют разностью, ${\displaystyle c}$ — уменьшаемым, ${\displaystyle a}$ — вычитаемым. Разность двух чисел показывает, на сколько первое число больше второго.
• Умножение — закон, по которому каждой паре действительных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ ставится в соответствие число ${\displaystyle t=a\cdot b}$, называемое их произведением. Числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ называются множителями.

• Деление — операция, обратная умножению: ${\displaystyle t={\dfrac {a}{b}}}$ или ${\displaystyle t={a}:{b}}$, где ${\displaystyle b\neq 0}$. Число ${\displaystyle a}$, которое делят называются делимым, ${\displaystyle b}$ — делителем, результат деления — частным.

• Коммутативность (переместительный закон):

 Сложение: ${\displaystyle a+b=b+a}$.
 Умножение: ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$.

• Ассоциативность (сочетательный закон):

 Сложение: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$.
 Умножение: ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.

• Дистрибутивность (распределительный закон):

 Умножение относительно сложения: ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$.

• Сложение чисел с нулём: ${\displaystyle a+0=a}$;
• Сложение с противоположным числом: для любого числа ${\displaystyle a}$ существует число ${\displaystyle -a}$, ему противоположное, такое, что ${\displaystyle a+(-a)=0}$;

• Сложение чисел с одинаковыми знаками: складываются модули чисел, результат имеет общий знак;

• Сложение чисел с разными знаками: из большего модуля вычитается меньший, знак результата совпадает со знаком числа с большим модулем;

• Вычитание сводится к сложению с противоположным числом: ${\displaystyle a-b=a+(-b)}$;
• Если ${\displaystyle a<b}$, то для любого числа ${\displaystyle c}$: ${\displaystyle a+c<b+c}$.

• Умножение на 0: ${\displaystyle a\cdot 0=0}$;
• Умножение на 1: ${\displaystyle a\cdot 1=a}$;
• Умножение на обратное число: для любого числа ${\displaystyle a}$ существует число ${\displaystyle a^{-1}}$, ему обратное, такое, что ${\displaystyle a\cdot a^{-1}=1}$;
• Правила знаков

 Для любых чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$: ${\displaystyle (-a)\cdot b=-ab}$; ${\displaystyle (-a)\cdot (-b)=ab}$.

• Деление сводится к умножению на обратное делителю число: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\cdot b^{-1}}$;
• Правила сравнения: если ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle c>0}$, то ${\displaystyle ac<bc}$; если же ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle c>0}$, то ${\displaystyle ac>bc}$.

• Если перед скобками стоит знак «${\displaystyle +}$», скобки можно опустить, не меняя знаки слагаемых.

 ${\displaystyle a+(b+c)=a+b+c}$.

• Если перед скобками стоит знак «${\displaystyle -}$», раскрывая скобки, меняют знаки всех слагаемых внутри на противоположные.

${\displaystyle a-(b+c)=a-b-c}$.

Арифметические операции с действительными числами основываются на фундаментальных свойствах, таких как коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность. Владение правилами выполнения этих операций позволяет уверенно работать с любыми реальными числами и является необходимым для решения математических задач и подготовки к экзаменам по математике.