Линейный непрерывный оператор

• Если X конечномерно, то любой линейный оператор непрерывен.
• Непрерывность линейного оператора в нуле равносильна его непрерывности в любой другой точке (и, следовательно, во всём X).
• Для нормированных пространств условия непрерывности и ограниченности (то есть конечности операторной нормы) равносильны.^[2]. В общем случае из непрерывности линейного оператора следует ограниченность, но обратное верно не всегда.
• Если X и Y — банаховы пространства, и образ оператора ${\displaystyle A\in L(X,Y)}$ совпадает с пространством Y, то существует обратный оператор ${\displaystyle A^{-1}\in L(Y,X)}$ (т. н. теорема об обратном операторе).
• Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y само является линейным топологическим пространством. Если X и Y нормированы, то ${\displaystyle L(X,Y)}$ также нормировано операторной нормой. Если Y — банахово, то и ${\displaystyle L(X,Y)}$ является таковым, независимо от полноты X.

Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств X и Y. Например, если X — конечномерное пространство, то оператор ${\displaystyle A\in L(X,Y)}$ будет вполне непрерывным оператором, область его значений ${\displaystyle R(A)}$ будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы^[3].

Линейный оператор ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$, действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y, непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ точек X, из ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x_{0}}$ следует ${\displaystyle Ax_{n}\rightarrow Ax_{0}}$.

Пусть ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s}$ сходится и ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$ — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As}$.

Это означает, что к сходящимся рядам в линейных топологических пространствах линейный оператор можно применять почленно.

Если X, Y — банаховы пространства, то непрерывный оператор переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:

если ${\displaystyle x_{n}\to x}$ слабо, то ${\displaystyle Ax_{n}\to Ax}$ слабо.

• Линейный оператор называется ограниченным снизу, если ${\displaystyle \exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|}$.