Операторная норма

В дальнейшем через K будет обозначено основное поле, являющееся нормированным полем. Обычно K = ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или K = ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Пусть V₁ и V₂ — два нормированных линейных пространства над K и T — линейный оператор из V₁ в V₂. Если существует такое неотрицательное число^[1] M, что

${\displaystyle \forall x\in V_{1}:\|Tx\|\leqslant M\|x\|,}$

то оператор T называется ограниченным, а наименьшее такое возможное M — его нормой ‖T‖. Если V₁ конечномерно, то всякий оператор ограничен.

Норма оператора T может быть вычислена по формуле^[2]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:x\in V_{1},\ \|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\in V_{1},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}}$

Если пространство V₁ состоит из одного нуля, то приведённая формула не работает, но ‖T‖ = 0 поскольку T = 0.

Линейное пространство ограниченных операторов из V₁ в V₂ обозначается ${\displaystyle L(V_{1},V_{2})}$. В случае когда ${\displaystyle V_{1}=V_{2}=V}$ пишут ${\displaystyle L(V)}$ вместо ${\displaystyle L(V,V)}$. Если ${\displaystyle H}$ — гильбертово пространство, то иногда пишут ${\displaystyle B(H)}$ вместо ${\displaystyle L(H)}$.

Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен.

На ${\displaystyle L(V_{1},V_{2})}$ можно ввести структуру векторного пространства с операциями ${\displaystyle (T+S)x=Tx+Sx}$ и ${\displaystyle T(\alpha x)=\alpha (Tx)}$, где ${\displaystyle T,S\in L(V_{1},V_{2})}$, ${\displaystyle x\in V_{1}}$, а ${\displaystyle \alpha \in K}$ — произвольный скаляр. Операторная норма делает линейное пространство ограниченных операторов нормированным пространством, то есть удовлетворяет соответственным аксиомам:

• ${\displaystyle \|T\|\geqslant 0}$ (по определению)
• ${\displaystyle \|T\|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle T=0}$ (следует из определения нормированного пространства)
• ${\displaystyle \|\alpha T\|=|\alpha |\|T\|}$ для всех ${\displaystyle \alpha }$ из ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle \|S+T\|\leqslant \|S\|+\|T\|}$ для всех ограниченных операторов ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ из V₁ в V₂.

Если S — оператор из V₂ в V₃, а T — оператор из V₁ в V₂, то их произведение S T определяется как композиция функций S ∘ T. Операторная норма удовлетворяют свойству субмультипликативности:

${\displaystyle \|ST\|\leq \|S\|\|T\|}$.

В случае V₁ = V₂ = V, ограниченные операторы можно перемножать не выходя из пространства ${\displaystyle L(V)}$, и потому операторная норма превращает операторную алгебру ${\displaystyle L(V)}$ в нормированную алгебру.

Пространство ${\displaystyle L(V_{1},V_{2})}$ является банаховым тогда и только тогда, когда V₁ нульмерно^[3] или V₂ банахово.

Если V — банахово пространство, то ${\displaystyle L(V)}$ с введённым выше умножением является банаховой алгеброй.

Операторные нормы (для различных норм на векторах) составляют важный класс возможных норм на пространствах матриц.

Алгебра ограниченных операторов ${\displaystyle L(H)}$ (на гильбертовом пространстве H) с операторной нормой является C*-алгеброй с операцией инволюции, задаваемой эрмитовым сопряжением. При этом, алгебра компактных операторов является её замкнутой *-подалгеброй и даже идеалом.

На операторах на гильбертовом пространстве определены и другие, более сильные, нормы, например норма Гильберта — Шмидта. В бесконечномерном случае, такие нормы не определены (бесконечны) на некоторых ограниченных операторах.

В конечномерном случае (когда оба пространства V₁ и V₂ конечномерны), ${\displaystyle L(V_{1},V_{2})}$ тоже конечномерно и все топологии (и нормы) на таком линейном пространстве эквивалентны. Однако, когда оба пространства V₁ и V₂ бесконечномерны, на ${\displaystyle L(V_{1},V_{2})}$ возможны более слабые (грубые) топологии:

• Сильная операторная топология; название вводит в заблуждение, так как она слабее (грубее) топологии нормы.
• Слабая операторная топология; ещё слабее (грубее).