Коэффициент передачи

В общем случае размерности возмущения и отклика не совпадают, например, звукового давления, развиваемого электродинамическим громкоговорителем и подводимая к нему электрическая мощность, или ЭДС термопары и температура; в этом случае отношение выходной величины к входной часто называют коэффициентом преобразования или крутизной преобразования, при этом коэффициент передачи — величина размерная, и в приведённых примерах — Па/Вт или В/К.

Если входная и выходная величины имеют одинаковую размерность, то коэффициент передачи является безразмерной величиной, и его обычно называют коэффициентом усиления. При этом, если выходная величина больше по модулю входной величины, то коэффициент усиления больше 1, и наоборот. Если коэффициент усиления меньше 1, то обычно используют обратную ему величину ${\displaystyle K_{r}=1/K}$, называемую коэффициентом ослабления или коэффициентом затухания, или просто затуханием.

В линейных системах коэффициент передачи не зависит от величины возмущения, то есть является постоянной величиной, и связь между откликом и воздействием выражается линейной зависимостью:

${\displaystyle A_{o}=KA_{i}.}$

В нелинейных системах связь между откликом и возмущением является некоторой нелинейной функцией, при этом вводят понятие дифференциального коэффициента передачи — производной отклика по возмущению ${\displaystyle K_{d}=dA_{o}/dA_{i}}$; этот коэффициент зависит от величины возмущения. При этом при корректном указании численного значения коэффициента передачи нужно указывать величину возмущения или величину отклика.

Обычно коэффициент передачи не зависит от предыстории системы, но в некоторых системах текущий коэффициент передачи зависит от предыдущий воздействий, например, в электрических цепях с катушками индуктивности с ферромагнитными сердечниками или в цепях с электрохимическими элементами^[1].

Безразмерный коэффициент передачи часто численно выражают в виде логарифма по некоторому оговорённому основанию ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle K_{L}=\log _{a}(K)=\log _{a}(\Delta A_{o}/\Delta A_{i}).}$

Для коэффициентов передачи, имеющих размерность, логарифмический коэффициент передачи не имеет смысла, так как будет зависеть от системы выбранных единиц, в отличие от безразмерных коэффициентов передачи инвариантных относительно выбранной системы единиц. Для размерных коэффициентов передачи имеют смысл только логарифмы их отношений, например, на двух разных частотах или при двух разных условиях.

Применение логарифмического коэффициента передачи обусловлено тем, что при последовательном соединении нескольких систем (звеньев, цепей) с коэффициентами передачи ${\displaystyle K_{1}\dots K_{i}}$ результирующий коэффициент передачи равен произведению коэффициентов передачи всех систем:

${\displaystyle K=\prod _{i}K_{i}}$.

При замене на логарифмы коэффициентов передачи результирующий логарифмический коэффициент передачи ${\displaystyle K_{L}}$ будет равен сумме логарифмических коэффициентов передачи ${\displaystyle K_{Li}}$ в соответствии со свойствами логарифмической функции:

${\displaystyle K_{L}=\log _{a}(K)=\log _{a}\prod _{i}K_{i}=\sum _{i}\log _{a}(K_{i})=\sum _{i}K_{Li},}$

другими словами, перемножение чисел заменяется их сложением, что гораздо удобнее в практических расчётах.

Поскольку коэффициент передачи может изменяться на много порядков, например, при изменении частоты гармонического возбуждающего воздействия, то на графиках, отображающих изменения коэффициентов передачи в виде логарифмов получается нагляднее.

В качестве основания логарифма на практике используются три числа: логарифмы по основанию числа Эйлера ${\displaystyle e}$ — натуральные логарифмы, в этом случае единица логарифмического коэффициента передачи называется непер (Нп) (по имени шотландского математика Джона Непера, впервые опубликовавшего таблицы логарифмов). Изменение логарифмического коэффициента передачи на 1 непер соответствует изменению величины в ${\displaystyle e}$ раз, т. е. в ~2,72. Если в качестве основания логарифма использовано число 10 (десятичные логарифмы), то единицу измерения логарифмического коэффициента передачи называют бел (B — международное, Б — русское) названную в честь американского учёного Александра Белла. Изменение величины на 1 Бел соответствует изменению отношения величин в 10 раз. Чаще всего используется кратная единица — децибел, равная 0,1 бела (dB — международное, дБ — русское). Сейчас единица непер практически вытеснена децибелами, но в некоторых случаях используется до сих пор, в основном в литературе по телефонной связи. Очень редко используются логарифмы по основанию 2 (двоичные логарифмы), в основном для выражения отношения частот, в выражениях, связанных с периодами полураспада. Соответствующая этим случаям логарифмическая единица называется октава, физический смысл которой состоит в том, что 1 октава соответствует изменению отношения величин в 2 раза^[2].

Энергетические величины ${\displaystyle P}$ (мощность, энергия, плотности энергии, интенсивность звука, световой поток и т. п.) пропорциональны квадрату силовых величин ${\displaystyle A}$, характеризующих данные явления, такие как электрическое напряжение, электрический ток, звуковое давление, амплитуда электромагнитного поля в световой волне и др. В этих случаях используют следующие выражения:

${\displaystyle P\sim A^{2},}$

${\displaystyle {\frac {P_{o}}{P_{i}}}={\frac {A_{o}^{2}}{A_{i}^{2}}}.}$

Соответственно, логарифмические коэффициенты передачи составят:

${\displaystyle \log _{a}{\frac {P_{o}}{P_{i}}}=\log _{a}{\frac {A_{o}^{2}}{A_{i}^{2}}}=2\log _{a}{\frac {A_{o}}{A_{i}}}.}$

Из этого следует, что логарифмические коэффициенты передачи для энергетических величин в 2 раза больше логарифмических коэффициентов передачи для силовых величин.

Пример. Электрическая мощность на сопротивлении нагрузки ${\displaystyle R}$ прямо пропорциональна квадрату напряжения или тока.

${\displaystyle P=RI^{2}=U^{2}/R;}$

${\displaystyle \log _{10}{\frac {P_{o}}{P_{i}}}=\lg {\frac {P_{o}}{P_{i}}}=\lg {\frac {U_{o}^{2}}{U_{i}^{2}}}=\lg {\frac {I_{o}^{2}}{I_{i}^{2}}}=2\lg {\frac {U_{o}}{U_{i}}}\ (B)=2\lg {\frac {I_{o}}{I_{i}}}\ (B)=20\lg {\frac {U_{o}}{U_{i}}}\ (dB)=20\lg {\frac {I_{o}}{I_{i}}}\ (dB).}$

Соотношения между силовыми и энергетическими логарифмическими коэффициентами передачи, выраженные в белах, децибелах и неперах приведены в таблице.

Единица	Обозначение	Изменение энергетической величины в … раз	Изменение силовой величины в … раз	Пересчёт в …
				дБ	Б	Нп
децибел	дБ, dB	${\displaystyle {\sqrt[{10}]{10}}}$ ≈ 1,259	${\displaystyle {\sqrt[{20}]{10}}}$ ≈ 1,122	1	0,1	≈0,1151
бел	Б, B	10	${\displaystyle {\sqrt {10}}}$ ≈ 3,162	10	1	≈1,151
непер	Нп, Np	e2 ≈ 7,389	e ≈ 2,718	≈8,686	≈0,8686	1

Если коэффициент передачи больше 1, то логарифмический коэффициент передачи положителен, если коэффициент передачи меньше единицы, логарифмический коэффициент отрицателен, а в случае, когда коэффициент передачи равен единице, логарифмический коэффициент передачи равен 1.

В виде логарифмического коэффициента передачи часто выражают величину затухания (ослабления) сигнала в электрических и оптоволоконных линиях передачи, как правило, приведённую к единице длины линии, например, в дБ/км, при этом знак минус у логарифмического коэффициента передачи, как правило, не указывается (подразумевается по умолчанию).

Большинство изучаемых систем нелинейны, то есть для них не выполняется принцип суперпозиции. Практически все нелинейные системы при анализе поддаются линеаризации, поскольку ведут себя при малых возмущающих воздействиях как приближённо как линейные. Для линейных и линеаризованных систем вводят понятие комплексного коэффициента передачи.

Если на вход линейной или приближённо линейной системы подать гармоническое воздействие ${\displaystyle X}$ с амплитудой ${\displaystyle A_{i}}$ и угловой частотой ${\displaystyle \omega }$, то на выходе такой системы в установившемся режиме будет наблюдаться гармонический отклик ${\displaystyle Y}$ с амплитудой ${\displaystyle A_{o}}$ и фазовым сдвигом ${\displaystyle \varphi }$ относительно входного воздействия с той же частотой:

${\displaystyle X=A_{i}\sin(\omega t);\ }$ ${\displaystyle Y=A_{o}\sin(\omega t+\varphi ).}$

Гармонические входное возмущение и выходной отклик можно записать в виде комплексных амплитуд; буквой ${\displaystyle j}$ обозначена мнимая единица:

${\displaystyle X(j\omega t)=A_{i}e^{j\omega t};\ }$ ${\displaystyle Y(j\omega t)=A_{o}e^{j(\omega t+\varphi )}.}$

По определению, коэффициент передачи равен отношению выходного и входного сигналов; в теории автоматического регулирования, теории электрических цепей комплексный коэффициент передачи обычно обозначают как ${\displaystyle H(j\omega )}$, подчёркивая, что коэффициент передачи — комплексное число, в общем случае зависящее от частоты возбуждающего гармонического воздействия ${\displaystyle \omega }$:

${\displaystyle H(j\omega )={\frac {Y[j(\omega t+\varphi )]}{X(j\omega t)}}={\frac {A_{o}e^{j(\omega t+\varphi )}}{A_{i}e^{j\omega t}}}={\frac {A_{o}}{A_{i}}}e^{j\varphi }}$.

В этом выражении отношение ${\displaystyle {\frac {A_{o}}{A_{i}}}}$ называют модулем коэффициента передачи, а ${\displaystyle e^{j\varphi }}$ — множителем фазового сдвига коэффициента передачи или «поворачивающим множителем».

В других обозначениях, если записать комплексный коэффициент передачи в нормализованном виде комплексного числа ${\displaystyle H(j\omega )=a+jb,}$ где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ действительная и мнимая части комплексного числа соответственно, модуль коэффициента передачи будет равен ${\displaystyle {\frac {A_{o}}{A_{i}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}$ а аргумент ${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right).}$

Зависимость комплексного коэффициента передачи линейной системы от частоты возмущения графически можно изобразить в виде амплитудно-фазовой частотной характеристики, где на одном из графиков строится зависимость модуля коэффициента передачи от частоты, а на другом графике — зависимость фазового сдвига от частоты. Обычно для наглядности на оси частот и на оси модуля коэффициента передачи применяют логарифмические координаты, в этом случае график называют логарифмической амплитудно-фазовой частотной характеристикой, по оси модуля коэффициента передачи обычно используют значения, выраженные в децибелах.

Также комплексный коэффициент передачи графически может изображаться в виде годографа на комплексной плоскости — траектории конца вектора векторного представления комплексного коэффициента передачи при изменении частоты; на этой траектории в виде засечек указывается частота. Графическое представление удобно при анализе устойчивости систем автоматического регулирования, в частности, если годограф коэффициента передачи системы с разомкнутой обратной связью не охватывает точку комплексной плоскости −1, то такая система при замыкании контура обратной связи будет устойчивой (критерий устойчивости).

В общем случае отношение выходного сигнала к вызвавшему его входному сигналу любой системы можно назвать коэффициентом передачи. В зависимости от конкретной системы коэффициент передачи может называться по-разному. Например, отношение приращения тока через активный электронный прибор (в частности, электровакуумный триод, транзистор) в вызвавшему это приращение изменению напряжения на управляющем электроде прибора называют крутизной передаточной характеристики, имеющей размерность электрической проводимости. В измерительных стрелочных приборах отношение отклонения стрелки к вызвавшему это отклонение изменению измеряемой величины называют чувствительностью прибора или ценой деления шкалы^[3][4].

В основном термин «коэффициент передачи» используется в электротехнике, электронике, оптике, акустике. Например, коэффициент усиления усилителей, коэффициент затухания сигнала в линиях передачи, ослабление электромагнитного излучения в поглощающих средах, или наоборот, усиление света в активных средах лазеров, в описании поглощения и отражения звуковых волн и поглощении механических вибраций, и т. п^[5][6].

• Прямое измерение — производится прямым измерением амплитуды сигнала на входе и выходе системы с последующим арифметическим вычислением. Существуют специализированные оптические и электрические приборы для выполнения такого измерения.
• Измерение методом сравнения — производится с помощью аттенюатора, являющегося мерой ослабления. Например, с помощью аттенюатора ослабляют выходной сигнал усилителя до достижения равенства с входным сигналом, сравнение сигналов производится каким-либо компаратором. По степени ослабления калиброванного аттенюатора определяют коэффициент усиления усилителя.
• Для измерения комплексных коэффициентов передачи применяются измерители импеданса и комплексных коэффициентов передачи, или, на сверхвысоких частотах, измерители комплексных коэффициентов и измерители коэффициента стоячей волны.