Матрица системы линейных уравнений

• Система линейных уравнений — совокупность уравнений вида:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1j}x_{j}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2j}x_{j}=b_{2},\\\vdots \\a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\dots +a_{ij}x_{j}=b_{i},\\\end{cases}}}$

где ${\displaystyle a_{ij}}$ — коэффициенты, ${\displaystyle x_{j}}$ — неизвестные, ${\displaystyle b_{i}}$ — свободные члены.

• Матричное уравнение — форма записи системы, состоящей из ${\displaystyle m}$ линейных уравнений и содержащей ${\displaystyle n}$ неизвестных величин, вида: ${\displaystyle Ax=b}$.

• Квадратная матрица ${\displaystyle n}$ -го порядка — вид матрицы, в которой число строк равно числу столбцов ${\displaystyle s=n}$, то есть ${\displaystyle n\times n}$.
• Диагональ матрицы (главная) — проходит от левого верхнего угла матрицы к первому нижнему углу и состоит из элементов ${\displaystyle a_{11},a_{22},...a_{nn}}$^[2].

Матрицы обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита. При необходимости размер матрицы — количество строк и столбцов —записывается в виде нижнего индекса. Например: ${\displaystyle A_{m\times n}}$. Таблица данных заключается в круглые скобки.

${\displaystyle A_{m\times n}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}}$

Элементы матрицы ${\displaystyle A}$ обозначаются ${\displaystyle a_{ij}}$, где ${\displaystyle i}$ — номер строки, в которой находится элемент, ${\displaystyle j}$ — номер столбца^[3].

Пусть дана система уравнений с тремя неизвестными: ${\displaystyle {\begin{cases}3x+5y+z=-1\\7x-2y+4z=3\\-6x+3y+2z=5\end{cases}}}$ ,

составим матрицу системы, элементами которой являются числа-коэффициенты при неизвестных:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&5&1\\7&-2&4\\-6&3&2\end{pmatrix}}}$.

Вид матрицы, все элементы которой по главной диагонали равны 1, а остальные 0. Обозначается латинской буквой ${\displaystyle E}$.

${\displaystyle E={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$.

Матрица, все элементы которой равны нулю: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}$.

Обратная матрица — квадратная матрица, обозначается ${\displaystyle A^{-1}}$ и удовлетворяет условию:

Если произведение матриц равно 1, то они взаимно-обратные. ${\displaystyle A^{-1}A=AA^{-1}=E,}$ где ${\displaystyle E}$ — единичная матрица.

• Вектор-строка — матрица, состоящая из одной строки.
• Вектор-столбец — матрица, состоящая из одного столбца.
• Вектор неизвестных ${\displaystyle x_{n}}$:

 ${\displaystyle x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\\end{pmatrix}}}$

• Вектор свободных членов ${\displaystyle b_{m}}$:

 ${\displaystyle b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\\\end{pmatrix}}}$

Расширенную матрицу получают путём добавления вектора свободных членов к матрице, содержащей коэффициенты при неизвестных. ${\displaystyle [A|b]={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}&|&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}&|&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &|&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}&|&b_{m}\\\end{pmatrix}}}$.

Пусть дана система уравнений с тремя неизвестными: ${\displaystyle {\begin{cases}3x+5y+z=1\\7x-2y+4z=3\\-6x+3y+2z=5\end{cases}}}$ ,

составим матрицу системы, элементами которой являются числа-коэффициенты при неизвестных и за чертой запишем столбец из свободных членов:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&5&1|1\\7&-2&4|3\\-6&3&2|5\end{pmatrix}}}$.

• Верхняя треугольная матрица — все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Например:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}5&9&-1\\0&3&8\\0&0&7\\\end{pmatrix}}}$.

• Нижняя треугольная матрица — все элементы выше главной диагонали равны нулю. Например:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}5&0&0\\4&3&0\\1&-3&0\\\end{pmatrix}}}$.

Здесь и далее будут рассматриваться действия с квадратными матрицами ${\displaystyle 2\times 2}$ и ${\displaystyle 3\times 3}$, достаточными для решения систем линейных уравнений^[4].

• Сложение матриц

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы.

• Вычитание матриц

Для того чтобы выполнить вычитание матриц, нужно к элементам первой матрицы прибавлять соответствующие, элементы с противоположным знаком.

• Транспонирование матриц

Операция над матрицей, при которой её строки и столбцы меняются местами: ${\displaystyle a_{ij}^{T}=a_{ji}}$.

• Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить каждый элемент матрицы на это число.

• Умножение матрицы на вектор

Каждый элемент строки умножают на элементы вектора-столбца, результаты складывают и записывают элементом вектора-столбца как результата.

Определитель матрицы или детерминант матрицы - это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении задач. Определитель матрицы ${\displaystyle A}$ обычно обозначается ${\displaystyle \det {A}}$, ${\displaystyle |A|}$, или ${\displaystyle \vartriangle A}$.

Для квадратной матрицы второго порядка ${\displaystyle 2\times 2}$
   ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{pmatrix}}}$
   определитель (детерминант) второго порядка имеет вид: ${\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$

  Для матрицы третьего порядка ${\displaystyle 3\times 3}$
   ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}}$
   определитель (детерминант) третьего порядка имеет вид: ${\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}}$ и вычисляется по формуле:
   ${\displaystyle \det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{13}+a_{13}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}}$

Минор ${\displaystyle M_{ij}}$ к элементу ${\displaystyle a_{ij}}$ определителя ${\displaystyle n}$ -го порядка — определитель ${\displaystyle (n-1)}$ -го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием ${\displaystyle i}$ -той строки и ${\displaystyle j}$ -того столбца^[5].

В общем виде минор ${\displaystyle k}$-го порядка есть определитель, получающийся после вычеркивания в исходном определителе ${\displaystyle (n-k)}$ строк и ${\displaystyle (n-k)}$ столбцов.

Алгебраическое дополнение ${\displaystyle A_{ij}}$ к элементу ${\displaystyle a_{ij}}$ определителя ${\displaystyle n}$ -го порядка — это число ${\displaystyle A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$.

Теорема Крамера

Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами.

Правило Крамера – метод решения системы линейных алгебраических уравнений, имеющей единственное решение, с помощью определителей. Представляет собой совокупность формул:

${\displaystyle x={\frac {\Delta _{x}}{\Delta }},\ \ y={\frac {\Delta _{y}}{\Delta }},\ \ z={\frac {\Delta _{z}}{\Delta }}}$

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

Пример:

${\displaystyle {\begin{cases}2x+5y+4z=30\\x+3y+2z=150\\2x+10y+9z=110\\\end{cases}}}$

Определители:

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}2&5&4\\1&3&2\\2&10&9\\\end{vmatrix}}=5,\ \ \Delta _{x}={\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\110&10&9\\\end{vmatrix}}=-760,\ \ }$

${\displaystyle \Delta _{y}={\begin{vmatrix}2&30&4\\1&150&2\\2&110&9\\\end{vmatrix}}=1350,\ \ \Delta _{z}={\begin{vmatrix}2&5&30\\1&3&150\\2&10&110\\\end{vmatrix}}=-1270.}$

${\displaystyle x=-{\frac {760}{5}}=-152,\ \ y={\frac {1350}{5}}=270,\ \ z=-{\frac {1270}{5}}=-254}$.

Состоит в решении системы линейных уравнений через обратную матрицу. Алгоритм и пример решения системы уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений: ${\displaystyle {\begin{cases}3x+2y-z=4,\\2x-y+5z=23,\\x+7y-z=5;\end{cases}}}$

1. Составим определитель матрицы ${\displaystyle \det {A}}$ и убедимся в том, что он не равен нулю.

${\displaystyle detA={\begin{vmatrix}3&2&-1\\2&-1&5\\1&7&-1\end{vmatrix}}=3-14+10-1-105+4=-103;}$

2. Вычислим алгебраические дополнения элементов ${\displaystyle a_{ij}}$ и запишем их в виде матрицы ${\displaystyle A_{ij}}$:

${\displaystyle A_{ij}={\begin{pmatrix}-34&7&15\\-5&-2&-19\\9&-17&-7\end{pmatrix}};}$

3. Составим транспонированную матрицу алгебраических дополнений:${\displaystyle A_{ij}^{T}={\begin{pmatrix}-34&-5&9\\7&-2&-17\\15&-19&-7\end{pmatrix}};}$

4. Составим обратную матрицу, используя формулу: ${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\cdot (A_{ij})^{T}}$.

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{-103}}\cdot {\begin{pmatrix}-34&-5&9\\7&-2&-17\\15&-19&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {34}{103}}&{\frac {5}{103}}&-{\frac {9}{103}}\\-{\frac {7}{103}}&{\frac {2}{103}}&{\frac {17}{103}}\\-{\frac {15}{103}}&{\frac {19}{103}}&{\frac {7}{103}}\end{pmatrix}};}$

5. Вычислим неизвестные, используя формулу: ${\displaystyle X=A^{-1}\cdot B}$ (перемножив обратную матрицу и столбец свободных членов).

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}{\frac {34}{103}}&{\frac {5}{103}}&-{\frac {9}{103}}\\-{\frac {7}{103}}&{\frac {2}{103}}&{\frac {17}{103}}\\-{\frac {15}{103}}&{\frac {19}{103}}&{\frac {7}{103}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}4\\23\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}}}$

Ответ: ${\displaystyle x=2,y=1,z=4}$.

Это метод последовательного исключения неизвестных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все неизвестные системы.

Алгоритм и пример решения системы уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений: ${\displaystyle {\begin{cases}5x-y-z=0,\\x+2y+3z=14,\\4x+3y+2z=16;\end{cases}}}$

1. Составим расширенную матрицу системы.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&-1&-1|&0\\1&2&3|&14\\4&3&2|&16\\\end{pmatrix}}}$.

2. Выполним элементарные действия с матрицей до получения верхнего треугольного вида. В результате умножения строк на число и сложения строк, получаем матрицу верхнего треугольного вида:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&-1&-1|&0\\0&-11&-16|&-70\\0&0&6|&18\\\end{pmatrix}}}$.

3. Запишем обновлённую систему уравнений с полученными коэффициентами и найдём решения.

${\displaystyle {\begin{cases}5x-y-z=0\\-11y-16z=-70\\6z=18\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}5x-y-z=0\\-11y-16\cdot 3=-70\\z=3\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}}$.

Матрицы являются инструментом для представления и решения систем линейных уравнений. Операции над матрицами, такие как элементарные преобразования и вычисление определителя, облегчают процесс решения и анализа систем. Понимание этих концепций важно для освоения линейной алгебры и подготовки к экзаменам по математике.