Расстояние

На множестве всех действительных чисел расстояние между элементами a и b определяется как модуль их разности: ρ(a, b) = |a − b|^[4][5]. Геометрически это длина отрезка на числовой оси между точками с координатами a и b^[6].

Покажем, что введённая функция ρ является метрикой, то есть удовлетворяет трём аксиомам метрического пространства^[7] :

1. Неотрицательность и тождество. |a − b| ≥ 0, причём |a − b| = 0 тогда и только тогда, когда a = b (из определения модуля числа)^[4].
2. Симметрия. |a − b| = |b − a| (из свойства модуля)^[4].
3. Неравенство треугольника. Для любых a, b, c ∈ ℝ выполняется |a − b| ≤ |a − c| + |c − b|. Доказательство: a − b = (a − c) + (c − b); по неравенству для модуля суммы{sfn|Макарычев|2024|loc=Глава I, § 1, пункт «Модуль числа»}}, |(a − c) + (c − b)| ≤ |a − c| + |c − b|, откуда и следует требуемое.

Следовательно, множество действительных чисел с метрикой ρ(a, b) = |a − b| является метрическим пространством.

Расстоянием между двумя точками на плоскости называется длина отрезка, их соединяющего. Если точки заданы координатами A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то в обычной евклидовой геометрии это расстояние вычисляется по формуле евклидовой метрики. Однако в зависимости от задачи используют и другие способы измерения. Например, «расстояние городских кварталов» (манхэттенская метрика) — это длина пути, состоящего только из горизонтальных и вертикальных отрезков, когда движение по диагонали невозможно. На множестве всех упорядоченных пар действительных чисел (координатной плоскости R²) чаще всего рассматривают три классические метрики: евклидову, манхэттенскую и метрику Чебышёва^[7] . Каждая из них должна удовлетворять трём аксиомам метрического пространства: неотрицательность с тождеством, симметрия и неравенство треугольника.

Определение. Для точек A(a; b) и B(c; d) евклидово расстояние задаётся формулой

${\displaystyle \rho _{E}(A,B)={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}}$. Пример: для точек (1,2) и (4,6) расстояние равно ${\displaystyle {\sqrt {(4-1)^{2}+(6-2)^{2}}}={\sqrt {9+16}}=5}$.

Проверка аксиом. 1) Неотрицательность и тождество: ${\displaystyle \rho _{E}(A,B)\geq 0}$, причём ${\displaystyle \rho _{E}(A,B)=0\iff A=B}$, поскольку квадратный корень из суммы квадратов равен нулю только когда a = c и b = d. 2) Симметрия: ${\displaystyle \rho _{E}(A,B)=\rho _{E}(B,A)}$, так как квадраты разностей не зависят от порядка. 3) Неравенство треугольника: для любых трёх точек A(a; b), B(c; d), C(e; f) нужно показать, что ${\displaystyle \rho _{E}(A,B)\leq \rho _{E}(A,C)+\rho _{E}(C,B)}$. Обозначим векторы ${\displaystyle \mathbf {u} =(a-e,\;b-f)}$ и ${\displaystyle \mathbf {v} =(e-c,\;f-d)}$. Тогда ${\displaystyle A-B=\mathbf {u} +\mathbf {v} }$. Возводя обе части в квадрат, получаем ${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}\leq (\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|)^{2}}$, что после раскрытия сводится к ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}$, а это неравенство является прямым следствием неравенства Коши — Буняковского. Таким образом, неравенство треугольника выполнено, следовательно, евклидова метрика является метрикой.

Определение. Для точек A(a; b) и B(c; d) манхэттенское расстояние определяется как

${\displaystyle \rho _{M}(A,B)=|a-c|+|b-d|}$. Пример: для тех же точек (1,2) и (4,6) расстояние равно ${\displaystyle |1-4|+|2-6|=3+4=7}$.

Эта метрика также известна как L₁-метрика; в задачах навигации — как расстояние городских кварталов. Название «манхэттенская» связано с геометрией улиц Манхэттена, где движение возможно только по горизонтали и вертикали^[8].

Определение. Для точек A(a; b) и B(c; d) расстояние в метрике Чебышёва задаётся формулой.

Пример: для точек (1,2) и (4,6) расстояние равно ${\displaystyle \max\{|1-4|,|2-6|\}=\max\{3,4\}=4}$.

${\displaystyle \rho _{C}(A,B)=\max\{|a-c|,\;|b-d|\}}$.

Эта метрика также известна как L∞-метрика или расстояние шахматного короля — минимальное число ходов, за которое король может попасть из одной клетки в другую на шахматной доске^[9].

Проверка аксиом.

1. Неотрицательность и тождество: ${\displaystyle \rho _{C}(A,B)\geq 0}$, причём ${\displaystyle \rho _{C}(A,B)=0\iff \max\{|a-c|,|b-d|\}=0\iff |a-c|=0}$ и ${\displaystyle |b-d|=0\iff a=c}$ и ${\displaystyle b=d}$, то есть точки совпадают.
2. Симметрия: ${\displaystyle \rho _{C}(A,B)=\max\{|a-c|,|b-d|\}=\max\{|c-a|,|d-b|\}=\rho _{C}(B,A)}$ по свойству модуля.
3. Неравенство треугольника: для любых трёх точек A(a; b), B(c; d), C(e; f) нужно доказать, что ${\displaystyle \rho _{C}(A,B)\leq \rho _{C}(A,C)+\rho _{C}(C,B)}$. Обозначим ${\displaystyle X=|a-c|}$, ${\displaystyle Y=|b-d|}$. Тогда ${\displaystyle \rho _{C}(A,B)=\max(X,Y)}$. По одномерному неравенству треугольника: ${\displaystyle |a-c|\leq |a-e|+|e-c|\leq \max(|a-e|,|b-f|)+\max(|e-c|,|f-d|)=\rho _{C}(A,C)+\rho _{C}(C,B)}$, и аналогично для второй координаты: ${\displaystyle |b-d|\leq |b-f|+|f-d|\leq \rho _{C}(A,C)+\rho _{C}(C,B)}$. Значит, и ${\displaystyle X}$, и ${\displaystyle Y}$ не превосходят величины ${\displaystyle S=\rho _{C}(A,C)+\rho _{C}(C,B)}$, следовательно, их максимум также не превосходит ${\displaystyle S}$.

Неравенство треугольника выполнено, и метрика Чебышёва является метрикой.

Таким образом, все три функции — евклидова, манхэттенская и чебышёвская — задают на плоскости R² различные метрики. Каждая из них находит применение в соответствующих областях: евклидова — в классической геометрии, манхэттенская — в задачах навигации и городского планирования, чебышёвская — в теории игр и численных методах. Выбор конкретной метрики диктуется спецификой решаемой задачи.

Все три функции — евклидова, манхэттенская и чебышёвская — удовлетворяют аксиомам метрического пространства на множестве R². Таким образом, на координатной плоскости можно ввести различные понятия расстояния, каждое из которых оказывается полезным в соответствующих задачах (геометрия, навигация, теория игр, численные методы и др.). Выбор конкретной метрики определяется характером решаемой задачи.

В геометрии расстояние между фигурами — минимально возможная длина отрезка между точкой, принадлежащей первой фигуре, и точкой, принадлежащей второй фигуре.