Квазигруппа (математика)

Квазигруппой называют пару (Q, *) из непустого множества Q с бинарной операцией * : Q × Q → Q, удовлетворяющей следующему условию: для любых элементов a и b из Q найдутся единственные элементы x и y из Q, такие что

• a * x = b
• y * a = b

Решения этих уравнений иногда записывают так:

• x = a \ b
• y = b / a

Операции \ и / называют левым делением и правым делением.

Квазигруппу с единицей называют также лупой (от англ. loop — петля).

Если между элементами двух квазигрупп Q и R можно установить биекцию (то есть они равномощны как множества), говорят, что Q и R имеют одинаковый порядок. Если при этом существуют перестановки A, B, C, действующие на элементах этих квазигрупп, такие что

• (x, y) = [xA, yB]C

(здесь (,) и [ , ] — операции в Q и R соответственно), то такие квазигруппы называют изотопными.

Для любой квазигруппы существует лупа, которой она изотопна. Если же лупа изотопна группе, то эта лупа является группой. В более общем случае: если полугруппа изотопна лупе, то они изоморфны и обе изоморфны некоторой группе. Изотопия, в некотором смысле, эквивалентна изоморфизму групп, но существуют квазигруппы изотопные, но не изоморфные группам.

Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы.

Квазигруппа называется полностью антисимметричной, если выполняются ещё два свойства^[2]:

• если для некоторых a и b из квазигруппы оказалось, что a * b = b * a, то a = b;
• если для некоторых a, b и c из квазигруппы оказалось, что (a * b) * c = (a * c) * b, то b = c.

В 2004 году М. Дамм представил примеры полностью антисимметричных квазигрупп, что явилось значительным математическим достижением XXI века^[2].

Полностью антисимметричные квазигруппы (квазигруппы Дамма) используются в кодах, распознающих ошибку (алгоритм Дамма)^[2].

• Любая группа является также и квазигруппой, так как a * x = b ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ x = a⁻¹ * b, y * a = b ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ y = b * a⁻¹.
• Целые числа (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) с операцией вычитания (−) являются квазигруппой.
• Ненулевые рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (или вещественные — ${\displaystyle \mathbb {R} }$) с операцией деления (÷) являются квазигруппой.
• Множество {±1, ±i, ±j, ±k}, где ii = jj = kk = +1 и все остальные произведения определяются так же, как в кватернионах, является квазигруппой с единицей (лупой).
• Любое векторное пространство над полем вещественных чисел относительно операции x * y = (x + y) / 2 образует структуру идемпотентной коммутативной квазигруппы.