ККС и КАС алгебры

Пусть ${\displaystyle V}$ — вещественное векторное пространство, снабжённое невырожденной вещественной антисимметричной билинейной формой ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ (то есть симплектическое векторное пространство). унитальная *-алгебра, порождённая элементами ${\displaystyle V}$, в которой выполняются соотношения:

${\displaystyle fg-gf=i(f,g)}$

${\displaystyle f^{*}=f}$

для любых ${\displaystyle f,g}$ в ${\displaystyle V}$ называется алгеброй канонических коммутационных соотношений (ККС-алгеброй).

Если, наоборот, ${\displaystyle V}$ снабжено невырожденной вещественной симметричной билинейной формой ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ унитальная *-алгебра, порождённая элементами ${\displaystyle V}$, в которой выполняются соотношения

${\displaystyle fg+gf=(f,g)}$

${\displaystyle f^{*}=f}$

для всех ${\displaystyle f,g}$ в ${\displaystyle V}$ называется алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (КАС-алгеброй).

Существует отдельное, но тесно связанная с основной разновидность ККС-алгебры, называемая ККС C*-алгеброй. Пусть ${\displaystyle H}$ — вещественное симплектическое векторное пространство с неособой симплектической формой ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$. В теории операторных алгебр алгебра ККС над ${\displaystyle H}$ является унитальной C*-алгеброй, порождённой элементами ${\displaystyle \{W(f):f\in H\}}$ обладающими свойствами:

${\displaystyle W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g)}$

${\displaystyle W(f)^{*}=W(-f)}$.

Они называются формой Вейля канонических коммутационных соотношений и, в частности, подразумевают, что каждый элемент ${\displaystyle W(f)}$ является унитарным и ${\displaystyle W(0)=1}$. Хорошо известно, что ККС-алгебра является простой несепарабельной алгеброй и уникальна с точностью до изоморфизма^[3].

Когда ${\displaystyle H}$ является гильбертовым пространством, а ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ задаётся мнимой частью внутреннего произведения, ККС-алгебра достоверно представляется на симметричном пространстве Фока поверх ${\displaystyle H}$, при помощи соотношения:

${\displaystyle W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}||f||^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)}$

для любых ${\displaystyle f,g\in H}$. Операторы поля ${\displaystyle B(f)}$ определяются для каждого ${\displaystyle f\in H}$ как генераторы однопараметрической унитарной группы ${\displaystyle (W(tf))_{t\in \mathbb {R} }}$ на симметричном пространстве Фока. Они являются самосопряжёнными неограниченными операторами, однако они формально удовлетворяют соотношению:

${\displaystyle B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\mathrm {Im} \langle f,g\rangle }$.

Поскольку отношение ${\displaystyle f\mapsto B(f)}$ является вещественнолинейным, поэтому операторы ${\displaystyle B(f)}$ определяют ККС-алгебру над ${\displaystyle (H,2\mathrm {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ в смысле раздел 1.

Пусть ${\displaystyle H}$ — гильбертово пространство. В теории операторных алгебр КАС-алгебра — это уникальное C*-пополнение комплексной унитальной *-алгебры, порождённой элементами ${\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):f\in H\}}$ с учётом отношений:

${\displaystyle b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,}$

${\displaystyle b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,}$

${\displaystyle \lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,}$

${\displaystyle b(f)^{*}=b^{*}(f),\,}$

для всех ${\displaystyle f,g\in H}$, ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$. Когда ${\displaystyle H}$ отделима, КАС-алгебра представляет собой приближённо конечномерную C*-алгебру и, в частном случае бесконечномерного ${\displaystyle H}$, её часто записывают как ${\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}}$^[4].

Пусть ${\displaystyle F_{a}(H)}$ будет антисимметричным пространством Фока над ${\displaystyle H}$ и пусть ${\displaystyle P_{a}}$ будет ортогональной проекцией на антисимметричные векторы:

${\displaystyle P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,}$

КАС-алгебра точно представляется в ${\displaystyle F_{a}(H)}$, при помощи соотношения:

${\displaystyle b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,}$

для всех ${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H}$ и ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Тот факт, что они образуют C *-алгебру, объясняется тем фактом, что операторы рождения и уничтожения в антисимметричном пространстве Фока являются ограниченным операторами. Более того, операторы поля ${\displaystyle B(f):=b^{*}(f)+b(f)}$ удовлетворяют соотношению:

${\displaystyle B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,}$

дающему связь с глава 1.