Аналитическая механика

Положение системы N материальных точек, подчинённых k голономным связям, полностью определяется n = 3N − k независимыми параметрами ${\displaystyle q_{1},\dots ,q_{n}}$, называемыми обобщёнными координатами. Их производные по времени ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ — обобщённые скорости. Число n есть число степеней свободы системы^[1].

Центральный объект — функция Лагранжа (лагранжиан):

${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)=T(q,{\dot {q}},t)-U(q,t),}$

где T — кинетическая, U — потенциальная энергия. Уравнения движения (уравнения Лагранжа второго рода) имеют вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0,\qquad i=1,\dots ,n.}$

Они получаются как условие стационарности функционала действия

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)\,dt}$

на истинной траектории (принцип Гамильтона). Одно из главных преимуществ формализма — одинаковая форма уравнений в любых обобщённых координатах^[1].

Введя обобщённые импульсы

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$

и совершив преобразование Лежандра, переходят к функции Гамильтона

${\displaystyle H(q,p,t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q,{\dot {q}},t),}$

численно равной полной энергии системы, если связи стационарны, а потенциал не зависит от скоростей. Уравнения движения — канонические уравнения Гамильтона — образуют систему 2n обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\qquad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}.}$

Пространство переменных ${\displaystyle (q,p)}$ называется фазовым пространством; его геометрия задаётся замкнутой невырожденной 2‑формой ${\displaystyle \omega =\sum dp_{i}\wedge dq_{i}}$ (симплектическая структура)^[2].

Для функций ${\displaystyle f,g}$ переменных ${\displaystyle (q,p,t)}$ скобкой Пуассона называется выражение

${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$

С их помощью уравнения Гамильтона записываются в компактной форме, справедливой для произвольной функции ${\displaystyle f(q,p,t)}$:

${\displaystyle {\dot {f}}=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}$

В частности, при ${\displaystyle \partial f/\partial t=0}$ и ${\displaystyle \{f,H\}=0}$ величина f есть первый интеграл движения. Скобки Пуассона задают на пространстве наблюдаемых структуру алгебры Ли и служат непосредственным мостом к квантовой механике^[5].

Лагранжев и гамильтонов формализмы переносятся на специальную теорию относительности. Для свободной частицы

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$

а действие ${\displaystyle S=-mc\int ds}$ пропорционально длине мировой линии и является инвариантом преобразований Лоренца. В общей теории относительности уравнения гравитационного поля Эйнштейна выводятся из вариации действия Гильберта—Эйнштейна, в котором лагранжиан пропорционален скалярной кривизне пространства-времени^[7].

Переход к квантовой механике осуществляется двумя основными путями. При каноническом квантовании переменным q и p сопоставляются эрмитовы операторы, а скобкам Пуассона — коммутаторы:

${\displaystyle \{f,g\}\;\longrightarrow \;{\frac {1}{i\hbar }}\,[{\hat {f}},{\hat {g}}].}$

Уравнение Гамильтона превращается при этом в уравнение Шрёдингера. Альтернативный подход — формализм интеграла по траекториям Р. Фейнмана — непосредственно использует лагранжиан и действие: амплитуда перехода записывается как ${\displaystyle \int \exp(iS/\hbar )\,{\mathcal {D}}q}$^[5]. Оба подхода показывают, что аналитическая механика служит фундаментом всей современной теоретической физики, включая квантовую теорию поля и Стандартную модель.