История древних систем счисления

Изначально в счёте участвовали пальцы рук^[6], учитывая, что в современных системах счисления распространён счёт цифрами, а также использование рук для выражения чисел пять и десять^[7]. Кроме того, большинство мировых систем счисления организованы по десяткам, пятёркам и двадцаткам, что предполагает использование рук и ног в счёте, а кросс-лингвистические термины для обозначения этих сумм этимологически основаны на руках и ногах^[8][9]. Существуют неврологические связи между частями мозга, которые оценивают количество, и частью, которая «знает» пальцы (пальцевая гнозия), и это предполагает, что люди неврологически предрасположены к использованию рук для счёта^[10][11]. Хотя счёт на пальцах явно не является археологической находкой, некоторые доисторические трафареты рук (см. фото) были интерпретированы как счёт на пальцах, поскольку из 32 возможных форм, которые могут образовывать пальцы, только пять (те, которые обычно используются при счёте от одного до пяти) были найдены в пещере Коскер, Франция^[12].

Поскольку возможности пальцев ограничены, счёт на пальцах обычно дополняется устройствами с большей ёмкостью и устойчивостью, включая счёты из дерева или других материалов^[13]. Возможные счётные знаки, сделанные путём вырезания зарубок в дереве, кости и камне, появляются в археологической летописи по крайней мере 40 тыс. лет назад^[14][15]. Эти счётные знаки могли использоваться для подсчёта времени, например, количества дней или лунных циклов, или для ведения учёта количества, например, количества животных или других ценных товаров. Однако в настоящее время не существует диагностической методики, которая позволила бы достоверно определить социальное назначение или использование доисторических линейных знаков, нанесённых на поверхность, а современные этнографические примеры показывают, что подобные артефакты изготавливались и использовались не в качестве чисел^[16].

Кость Лебомбо — малоберцовая кость павиана с насечками, обнаруженная в горах Лебомбо, расположенных между Южной Африкой и Эсватини. Кость была датирована 42 000 лет назад^[17]. Согласно The Universal Book of Mathematics/«Универсальной книге математики»^{[18]:p. 184}, 29 насечек на кости Лебомбо позволяют предположить, что «она могла использоваться в качестве счётчика лунных фаз, и в этом случае африканские женщины могли быть первыми математиками, поскольку для отслеживания менструальных циклов необходим лунный календарь». Однако кость явно сломана с одного конца, поэтому 29 насечек могут представлять собой лишь часть более крупной последовательности^[17]. Подобные артефакты из современных обществ, например из Австралии, также предполагают, что такие насечки могут выполнять мнемонические или условные функции, а не означать числа^[16].

Кость Ишанго — артефакт с острым куском кварца, прикреплённым к одному концу, возможно, для гравировки. Он был датирован 25 000 лет назад^[19]. Сначала артефакт считался счётной палкой, поскольку на нём есть ряд знаков, которые интерпретируются как счётные метки, вырезанные в три ряда по всей длине инструмента. Первый ряд был интерпретирован как простые числа от 10 до 20 (то есть 19, 17, 13 и 11), второй ряд, по-видимому, представляет собой сложение и вычитание 1 из 10 и 20 (то есть 9, 19, 21 и 11); третий ряд содержит суммы, которые могут быть половинками и удвоениями, хотя они непоследовательны^[20]. Отмечая статистическую вероятность случайного получения таких чисел, исследователи, такие как Жан де Хайнцелин, предположили, что группировка насечек указывает на математическое понимание, выходящее далеко за рамки простого подсчёта. Также было высказано предположение, что насечки могли быть сделаны с утилитарной целью, например, для создания лучшего захвата рукоятки, или по другой нематематической причине. Цель и значение насечек продолжают обсуждаться в научной литературе^[21].

Самая ранняя известная письменность для ведения записей возникла на основе системы учёта, в которой использовались маленькие глиняные жетоны. Самые ранние артефакты, которые, как утверждается, являются жетонами, найдены в Телль-Абу-Хурейре, месте в долине Верхнего Евфрата в Сирии, датируемом X тысячелетием до н. э.^[22], и Ганджи-Даре, месте в Загросском регионе Ирана, датируемом IX тысячелетием до н. э.^[23].

Для создания записи, отражающей «двух овец», использовались два жетона, каждый из которых представлял одну единицу. Различные типы объектов также подсчитывались по-разному. В системе счёта, используемой для большинства отдельных объектов (включая животных, таких как овцы), был один жетон для одного предмета (единицы), другой жетон для десяти предметов (десятки), третий жетон для шести десятков (шестидесятки) и т. д. Жетоны разных размеров и форм использовались для записи более высоких групп из десяти или шести в шестидесятеричной системе счисления. Различные комбинации форм и размеров жетонов кодировали различные системы счёта^[24] Археолог Дениз Шмандт-Бессера утверждает, что простые геометрические жетоны, используемые для обозначения чисел, сопровождались сложными жетонами, которые обозначали перечисляемые товары. Для копытных животных, таких как овцы, таким сложным жетоном был плоский диск, помеченный четвертью круга. Однако предполагаемое использование сложных жетонов также подвергается критике по ряду причин^[25].

Для того чтобы жетоны не были утеряны или изменены по типу или количеству, их помещали в глиняные конверты в форме полых шаров, называемых моливдовулами (буллами). На поверхности моливдовул оттискивались печати владельцев и свидетелей, которые также могли быть оставлены без печати. Если жетоны требовалось проверить после того, как содержащая их моливдовула была запечатана, моливдовулу нужно было вскрыть. Примерно в середине 4-го тысячелетия до н. э. жетоны стали вдавливать во внешнюю поверхность моливдовулы перед тем, как запечатать её внутри, предположительно для того, чтобы избежать необходимости вскрывать моливдовулу, чтобы увидеть их. В результате этого процесса на поверхности моливдовулы появились внешние оттиски, которые по размерам, форме и количеству соответствовали вложенным жетонам. В конце концов, излишняя избыточность, создаваемая жетонами внутри и оттисками снаружи моливдовулы, была признана, и предпочтительным методом записи числовой информации стали оттиски на плоских табличках. Соответствия между оттисками и жетонами, а также хронология форм, в которые они входили, были первоначально замечены и опубликованы учёными, например Пьером Амиет^{[26][27][28][29]}.

К тому времени, когда числовые оттиски позволили получить представление о древних числах, шумеры уже разработали сложную арифметику^[30]. Вычисления, вероятно, производились либо с помощью жетонов, либо с помощью абака или счётной доски^[31][32].

В середине и конце 4-го тыс. до н. э. числовые оттиски, использовавшиеся в моливдовулах, были заменены числовыми табличками с протоклинописными цифрами, оттиснутыми на глине круглым стилосом, который держали под разными углами для получения различных форм, используемых для числовых знаков^[33]. Как и в случае с жетонами и числовыми оттисками на внешней стороне булл, каждый числовой знак обозначал как подсчитываемый товар, так и количество или объём этого товара. Вскоре эти цифры стали сопровождаться небольшими изображениями, обозначающими перечисляемый товар. Шумеры по-разному считали различные типы предметов. Как показал анализ ранних протоклинописных надписей из города Урук, существовало более дюжины различных систем счёта^[24], включая общую систему для подсчёта большинства отдельных объектов (таких как животные, инструменты и люди) и специализированные системы для подсчёта сыра и зерновых продуктов, объёмов зерна (включая дробные единицы), площадей и времени. Счёт по конкретным объектам не является чем-то необычным и задокументирован у современных народов по всему миру; такие современные системы дают хорошее представление о том, как, вероятно, функционировали древние шумерские системы счисления^[34].

Около 2700 года до н. э. круглый стилос стал заменяться тростниковым, который производил клиновидные оттиски, давшие клинописным знакам их название. Как и в случае с жетонами, числовыми оттисками и протоклинописными цифрами, клинописные цифры сегодня иногда неоднозначно трактуют числовые значения, которые они представляют. Эта неоднозначность отчасти объясняется тем, что базовая единица системы счёта, определяемая объектом, не всегда понятна, а отчасти тем, что в шумерской системе счисления отсутствовала такая условность, как десятичная точка, чтобы отличать целые числа от дробей или высшие экспоненты от низших. Примерно в 2100 году до н. э. была разработана общая шестидесятеричная система счисления с позиционной нумерацией, которая использовалась для облегчения преобразования между системами счисления, определяемыми объектами^[35][36][37]. Десятичная версия шестидесятеричной системы счисления, называемая сегодня ассиро-вавилонской общей, развилась во 2-м тысячелетии до н. э., отражая возросшее влияние семитских народов, таких как аккадцы и эблаиты; хотя сегодня она менее известна, чем её шестидесятеричная аналогия, в конечном итоге она стала доминирующей системой, используемой во всём регионе, особенно когда шумерское культурное влияние стало ослабевать^[38][39].

Шестидесятеричные числительные представляли собой смешанную систему, сохранившую чередование оснований 10 и 6, характерное для жетонов, числовых оттисков и протоклинописных числовых знаков. Шестидесятеричные цифры использовались в торговле, а также для астрономических и других вычислений. В арабских цифрах шестидесятеричные числа и сегодня используются для счёта времени (секунды в минуту; минуты в час) и углов (градусы).

Римские цифры возникли из этрусских символов примерно в середине 1-го тысячелетия до н. э.^[40]. В этрусской системе символ 1 представлял собой одну вертикальную метку, символ 10 — две перпендикулярно пересекающиеся метки, а символ 100 — три пересекающиеся метки (по форме похожие на современную звёздочку *); если 5 (перевёрнутое V) и 50 (перевёрнутое V, разделённое одной вертикальной меткой), возможно, произошли от нижних половин знаков 10 и 100, то нет убедительного объяснения, как римский символ 100, C, произошёл от своего этрусского предшественника в форме звёздочки^[41].