Инвариант конечного типа

Пусть ${\displaystyle f}$ — инвариант узлов со значениями в вещественных числах, то есть ${\displaystyle f(K)}$ есть вещественное число определённое для каждого узла ${\displaystyle K}$, такое, что ${\displaystyle f(K)=f(K')}$, если узлы ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle K'}$ изотопны.

Рассмотрим плоскую диаграмму ${\displaystyle D}$ узла и выберем некоторое подмножество её перекрестков, состоящее из ${\displaystyle m}$ элементов. Пронумеруем эти перекрёстки от 1 до ${\displaystyle m}$.

Для набора ${\displaystyle (\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{m})}$, где ${\displaystyle \varepsilon _{i}=\pm 1}$ рассмотрим диаграмму ${\displaystyle D[\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{m}]}$, полученную из ${\displaystyle D}$ изменением перекрестков по такому правилу: если ${\displaystyle \varepsilon _{i}=1}$, то ${\displaystyle i}$-й перекресток не меняется, а если ${\displaystyle \varepsilon _{i}=-1}$, то меняется на противоположный.

Пусть ${\displaystyle n}$ неотрицательное целое число. В случае если для любой диаграммы ${\displaystyle D}$ и любого выбора ${\displaystyle m>n}$ перекрёстков выполняется тождество

${\displaystyle \sum _{(\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{m})}\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{m}\cdot f(D[\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{m}])=0}$

то говорят, что ${\displaystyle f}$ имеет степень не выше ${\displaystyle n}$.

Инварианты конечной степени называются инвариантами конечного типа.

• Все известные полиномиальные инварианты узлов выражаются через инварианты конечного типа.
  • Коэффициент при квадратичном члене в многочлене Александера является инвариантом конечного типа степени два.
• Любой коэффициент в интеграле Концевича является инвариантом конечного типа.

• Инварианты степени не выше ${\displaystyle n}$ образуют векторное пространство ${\displaystyle V_{n}}$. При этом

  ${\displaystyle V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \dots }$

  • ${\displaystyle V_{0}}$ и ${\displaystyle V_{1}}$ являются одномерными, то есть инварианты степени не выше ${\displaystyle 1}$ — это только константы.
  • ${\displaystyle V_{m}\cdot V_{n}\subset V_{m+n}}$

• Образуют ли инварианты конечного типа полную систему инвариантов? То есть верно ли, что если два узла ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle K'}$ не изотопны, то найдется инвариант конечного типа ${\displaystyle v}$ такой, что ${\displaystyle v(K)\neq v(K')}$?

Инварианты узлов конечного типа были предложены независимо Васильевым и Гусаровым[1] в конце 1980-х годов. Васильеву принадлежат первые публикации на эту тему (1990),^[1] Гусаров, выступил на семинаре Рохлина в 1987 году а первая публикация вышла только в 1991^[2].

В 1992 году Арнольд сделал на эту тему доклад на Европейском математическом конгрессе.^[3] С этих пор закрепился термин «инварианты Васильева».