Четырёхкратная секущая

Четырёхкратная секущая — прямая, проходящая через четыре точки данной пространственной кривой.

Кривые общего положения не имеют секущих кратности 5 и больше.
- Для таких кривых четырёхкратные секущие образуют дискретное множество прямых.
В трёхмерном евклидовом пространстве каждый нетривиальный узел или зацепление имеет четырёхкратную секущую. Более того, любой узел имеет альтернированную четырёхкратную секущую, то есть секущую в которой четыре точки пересечения появляются в разных циклических порядках на узле и на прямой. Это утверждение было доказано Эрикой Паннвиц^[1] для ручных узлов, результат был обобщён на узлы общего положения^[2], а затем на все нетривиальные ручные узлы и зацепления.
- Из этого утверждения легко выводится теорема Фари — Милнора о повороте узла.
- Не известно любой ли дикий узел имеет бесконечное число четырёхкратных секущих.^[3]

Формула Кейли^[4] даёт число четырёхкратных секущих алгебраической кривой в трёхмерном комплексном проективном пространстве в зависимости от степени $d$ и рода $g$ :
${\frac {(d-2)(d-3)^{2}(d-4)}{12}}-{\frac {g(d^{2}-7d+13-g)}{2}}.$

Предполагается, что кривая не особая; для особых кривых требуются поправочные члены.

В трёхмерном евклидовом пространстве каждый набор из четырёх скрещивающихся прямых в общем положении имеет либо две четырёхкратные секущие либо ни одной.

↑ Pannwitz, E. (1933). Eine elementargeometrische Eigenschaft von Verschlingungen und Knoten. Math. Ann. 108(1): 629—672.
↑ Denne, Elizabeth Jane (2004), Alternating quadrisecants of knots, Ph.D. thesis, University of Illinois at Urbana-Champaign .
↑ Kuperberg, Greg (1994), Quadrisecants of knots and links, Journal of Knot Theory and Its Ramifications Т. 3: 41–50, DOI 10.1142/S021821659400006X
↑ Cayley, Arthur (1863), Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 153, The Royal Society, с. 453–483

Anton Petrunin, Stephan Stadler. Six proofs of the Fáry–Milnor theorem (англ.). — arXiv:2203.15137.

[1] Pannwitz, E. (1933). Eine elementargeometrische Eigenschaft von Verschlingungen und Knoten. Math. Ann. 108(1): 629—672.

[2] Denne, Elizabeth Jane (2004), Alternating quadrisecants of knots, Ph.D. thesis, University of Illinois at Urbana-Champaign .

[3] Kuperberg, Greg (1994), Quadrisecants of knots and links, Journal of Knot Theory and Its Ramifications Т. 3: 41–50, DOI 10.1142/S021821659400006X

[4] Cayley, Arthur (1863), Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 153, The Royal Society, с. 453–483

[1]

[2]

[3]

[4]

Теория узлов и зацеплений
Гиперболические	Восьмёрка (4₁) Три полуоборота (5₂) Стивидорный (6₁) 6₂ 6₃ 7₄ Мат Каррика (8₁₈) Пара Перко (10₁₆₁) Кружевной (−2,3,7) (12n242) Уайтхеда (52 1) Кольца Борромео (63 2) L10a140
Сателлитные	Составные (бабий) прямой Сумма узлов
Торические	Тривиальный (0₁) Трилистник (3₁) Лапчатка (5₁) Семилистник (7₁) Незацепленные (02 1) Хопфа (22 1) Соломона (42 1)
Инварианты	Альтернирующий Инвариант Арфа Число мостов (2-мостиковый) Брунново зацепление Хиральность (Обратимый) Число плёнок Число пересечений Инвариант Васильева Гиперболический объём Гомология Хованова Род Группа узла Группа зацепления Коэффициент зацепления Многочлены (Александера Скобка Кауфмана HOMFLY Джонса Кауфмана) Кружевное зацепление Простой узел (Список) Число отрезков Число трёхцветных раскрасок Число и задача развязывания
Нотация и операции	Нотация Александера – Бриггса Нотация Конвея Нотация Даукера Мутация Движение Рейдемейстера Скейн-соотношение
Другое	Теорема Александера Узел Берге Теория кос Сфера Конвея Дополнение узла Узел двойного тора Расслоённый узел Ленточный Срезанный Сумма узлов Гипотезы Тэйта Скрученный Дикий Число закрученности Поверхность Зейферта Четырёхкратная секущая

Четырёхкратная секущая

Свойства

Примечания

Литература

Дополнительно по теме

Категории