Четырёхкратная секущая
Четырёхкратная секущая — прямая, проходящая через четыре точки данной пространственной кривой.
Свойства
- Кривые общего положения не имеют секущих кратности 5 и больше.
- Для таких кривых четырёхкратные секущие образуют дискретное множество прямых.
- В трёхмерном евклидовом пространстве каждый нетривиальный узел или зацепление имеет четырёхкратную секущую. Более того, любой узел имеет альтернированную четырёхкратную секущую, то есть секущую в которой четыре точки пересечения появляются в разных циклических порядках на узле и на прямой. Это утверждение было доказано Эрикой Паннвиц[1] для ручных узлов, результат был обобщён на узлы общего положения[2], а затем на все нетривиальные ручные узлы и зацепления.
- Из этого утверждения легко выводится теорема Фари — Милнора о повороте узла.
- Не известно любой ли дикий узел имеет бесконечное число четырёхкратных секущих.[3]
- Формула Кейли[4] даёт число четырёхкратных секущих алгебраической кривой в трёхмерном комплексном проективном пространстве в зависимости от степени и рода :
- Предполагается, что кривая не особая; для особых кривых требуются поправочные члены.
- В трёхмерном евклидовом пространстве каждый набор из четырёх скрещивающихся прямых в общем положении имеет либо две четырёхкратные секущие либо ни одной.
Примечания
Литература
- Anton Petrunin, Stephan Stadler. Six proofs of the Fáry–Milnor theorem (англ.). — arXiv:2203.15137.
| Гиперболические |
|
|---|---|
| Сателлитные | |
| Торические |
|
| Инварианты |
|
| Нотация и операции | |
| Другое | |
