Изгиб (механика)

Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса или оболочки изгибающих моментов.

Прямой изгиб балки возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, изгиб называется косым.

Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой или чистый косой изгиб. Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой или поперечный косой изгиб.

Часто термин «прямой» в названии прямого чистого и прямого поперечного изгиба не употребляют и их называют соответственно чистым изгибом и поперечным изгибом.

Теория Эйлера — Бернулли является базовой для аналитических расчётов изгибов балок и рам.

• Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения балки, плоские и нормальные к оси до деформации, остаются после деформации плоскими и нормальными к изогнутой оси балки. Таким образом, деформация сдвига слоёв относительно друг друга не учитывается. Единственным напряжением, рассматриваемым в этой теории, является осевое напряжение ${\displaystyle \sigma _{z}}$;

• Перемещения и деформации предполагаются малыми. Балка предполагается нерастяжимой;

• Размеры сечения балки предполагаются малыми по сравнению с радиусом кривизны оси балки;

• Материал рассматривается как линейно упругий согласно закону Гука.

Из основных гипотез следует, что деформация ${\displaystyle \varepsilon _{z}}$ распределена по высоте сечения по линейному закону. В соответствии с законом Гука:

${\displaystyle \sigma _{z}=E\varepsilon _{z},}$ (1)

то есть напряжения также распределены по линейному закону.

В сечении балки (в плоском случае) возникают изгибающий момент ${\displaystyle M_{x}}$, поперечная сила ${\displaystyle Q_{y}}$ и продольная сила ${\displaystyle N}$. На сечение действует внешняя распределённая нагрузка ${\displaystyle q}$.

Рассмотрим два смежных сечения, расположенных на расстоянии ${\displaystyle dz}$ друг от друга. В деформированном состоянии они развёрнуты на угол ${\displaystyle d\theta }$ друг относительно друга. Так как верхние слои растянуты, а нижние сжаты, то очевидно, что существует нейтральный слой, остающийся нерастянутым. На рисунке он выделен красным. Изменение радиуса кривизны нейтрального слоя записывается следующим образом:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {d\theta }{dz}}.}$ (2)

Приращение длины отрезка АВ, находящегося на расстоянии ${\displaystyle y}$ от нейтральной оси, выражается следующим образом:

${\displaystyle \Delta l=(y+\rho )d\theta -\rho d\theta =yd\theta .}$ (3)

Таким образом, деформация определяется как:

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {\Delta l}{l}}={\frac {yd\theta }{\rho d\theta }}={\frac {y}{\rho }}}$ (4)

Напряжение (по закону Гука):

${\displaystyle \sigma _{z}=E\varepsilon _{z}=E{\frac {y}{\rho }}}$ (5)

Свяжем напряжение с силовыми факторами, возникающими в сечении. Осевая сила выражается следующим образом:

${\displaystyle N=\int \limits _{A}^{\color {White}.}{\sigma _{z}}\,dA=\int \limits _{A}^{\color {White}.}{E{\frac {y}{\rho }}}\,dA={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^{\color {White}.}y\,dA}$ (6)

Интеграл в последнем выражении представляет собой статический момент сечения относительно оси ${\displaystyle x}$. Принято брать в качестве оси ${\displaystyle x}$ центральную ось сечения, такую, что

${\displaystyle S_{x}=\int \limits _{A}^{\color {White}.}y\,dA=0.}$ (7)

Таким образом, ${\displaystyle N=0}$. Изгибающий момент выражается следующим образом:

${\displaystyle M_{x}=\int \limits _{A}^{\color {White}.}{\sigma _{z}y}\,dA={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^{\color {White}.}{y^{2}}\,dA={\frac {E}{\rho }}J_{x},}$ (8)

где ${\displaystyle J_{x}=\int \limits _{A}^{\color {White}.}{y^{2}}\,dA}$ — момент инерции сечения относительно оси ${\displaystyle x}$.

Напряжения в сечении могут также приводиться к моменту ${\displaystyle M_{y}}$. Чтобы этого не произошло, необходимо выполнение условия:

${\displaystyle M_{y}={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^{\color {White}.}{yx}\,dA={\frac {E}{\rho }}J_{xy}=0,}$ (9)

то есть центробежный момент инерции должен быть равен нулю, и ось ${\displaystyle y}$ должна быть одной из главных осей сечения.

Таким образом, кривизна изогнутой оси балки связана с изгибающим моментом выражением:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}.}$ (10)

Распределение напряжений по высоте сечения выражается формулой:

${\displaystyle \sigma ={\frac {M_{x}}{J_{x}}}y.}$ (11)

Максимальное напряжение в сечении выражается формулой:

${\displaystyle \sigma _{max}={\frac {M_{x}}{J_{x}}}{\frac {h}{2}}={\frac {M_{x}}{W_{x}}},}$ (12)

где ${\displaystyle W_{x}={\frac {J_{x}}{\frac {h}{2}}}}$ — момент сопротивления сечения изгибу, ${\displaystyle h}$ — высота сечения балки.

Величины ${\displaystyle J_{x}}$ и ${\displaystyle W_{x}}$ для простых сечений (круглое, прямоугольное) вычисляются аналитически. Для круглого сечения диаметром ${\displaystyle d}$:

${\displaystyle J_{x}={\frac {\pi d^{4}}{64}},}$ ${\displaystyle W_{x}={\frac {\pi d^{3}}{32}}.}$ (13)

Для прямоугольного сечения высотой ${\displaystyle h}$ и шириной ${\displaystyle b}$

${\displaystyle J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}},}$ ${\displaystyle W_{x}={\frac {bh^{2}}{6}}.}$ (14)

Для более сложных сечений (например, швеллер, двутавр), имеющих стандартизованные размеры, эти величины приведены в справочной литературе.

Изгибающий момент в сечении может быть получен методом сечений (если балка статически определима) или методами сил/перемещений.

Основными перемещениями, возникающими при изгибе, являются прогибы ${\displaystyle v}$ в направлении оси ${\displaystyle y}$. Необходимо связать их с изгибающим моментом в сечении. Запишем точное соотношение, связывающее прогибы и кривизну изогнутой оси:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {v''}{(1+v'^{2})^{\frac {3}{2}}}}.}$ (15)

Так как прогибы и углы поворота предполагаются малыми, то величина

${\displaystyle v'^{2}=\left(\mathrm {tg} \,(\theta )\right)^{2}\approx \theta ^{2}}$ (16)

является малой. Следовательно,

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\approx v''.}$ (17)

Значит,

${\displaystyle v''={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}.}$ (18)

Запишем уравнение равновесия сечения в направлении оси ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle Q_{y}+qdz-Q_{y}-dQ_{y}=0\Rrightarrow {\frac {dQ}{dz}}=q.}$ (19)

Запишем уравнение равновесия моментов относительно оси ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle M_{x}+Q\,dz+q\,dz{\frac {\,dz}{2}}-M_{x}-\,dM_{x}=0.}$ (20)

Величина ${\displaystyle q\,dz{\frac {\,dz}{2}}}$ имеет 2-й порядок малости и может быть отброшена. Следовательно,

${\displaystyle {\frac {\,dM_{x}}{\,dz}}=Q_{y}.}$ (21)

Таким образом, имеется 3 дифференциальных уравнения. К ним добавляется уравнение для перемещений:

${\displaystyle {\frac {\,dv}{\,dz}}=\mathrm {tg} \,\theta \approx \theta .}$ (22)

В векторно-матричной форме система записывается следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\,d{\overrightarrow {Z}}}{\,dz}}+A{\overrightarrow {Z}}={\overrightarrow {b}},}$ (23)

где

${\displaystyle A={\begin{Bmatrix}0&0&0&0\\-1&0&0&0\\0&-\displaystyle {\frac {1}{EJ_{x}(z)}}&0&0\\0&0&-1&0\end{Bmatrix}}.}$ (24)

Вектор состояния системы:

${\displaystyle {\overrightarrow {Z}}=(Q,M,\theta ,v)^{T}.}$ (25)

Вектор внешней нагрузки:

${\displaystyle {\overrightarrow {b}}=(q,0,0,0)^{T}.}$ (26)

Это дифференциальное уравнение может быть использовано для расчёта многоопорных балок с переменным по длине моментом инерции сечения и сложным образом распределёнными нагрузками. Для расчёта простых балок применяются упрощённые методы. В сопротивлении материалов при расчете статически определимых балок изгибающий момент находится методом сечений. Уравнение

${\displaystyle v''={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}}$ (27)

интегрируется дважды:

${\displaystyle v'=\theta (z)=\int {\frac {M_{x}(z)}{EJ_{x}}}\,dz+C_{1}.}$ (28)

${\displaystyle v(z)=\int \left(\int {\frac {M_{x}(z)}{EJ_{x}}}\,dz\right)\,dz+C_{1}z+C_{2}.}$ (29)

Константы ${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle C_{2}}$ находятся из граничных условий, наложенных на балку. Так, для консольной балки, изображённой на рисунке:

${\displaystyle M_{x}(z)=-P(L-z).}$ (30)

${\displaystyle \theta (z)=-PL{\frac {z}{EJ_{x}}}+P{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+C_{1}.}$ (31)

${\displaystyle v(z)=-PL{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+P{\frac {z^{3}}{6EJ_{x}}}+C_{1}z+C_{2}.}$ (32)

Граничные условия:

${\displaystyle \theta (0)=0\Rrightarrow C_{1}=0,}$ ${\displaystyle v(0)=0\Rrightarrow C_{2}=0.}$ (33)

Таким образом,

${\displaystyle \theta (z)=-PL{\frac {z}{EJ_{x}}}+P{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}.}$ (34)

${\displaystyle v(z)=-PL{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+P{\frac {z^{3}}{6EJ_{x}}}.}$ (35)

Данная теория базируется на тех же гипотезах, что и классическая, однако гипотеза Бернулли модифицируется: предполагается, что сечения, бывшие до деформации плоскими и нормальными к оси балки, остаются плоскими, но перестают быть нормальными к изогнутой оси. Таким образом, данная теория учитывает деформацию сдвига и касательные напряжения. Учёт касательных напряжений очень важен для расчёта композитов и деталей из дерева, так как их разрушение может происходить за счёт разрушения связующего при сдвиге.

Основные зависимости:

где ${\displaystyle G}$ — модуль сдвига материала балки, ${\displaystyle F}$ — площадь сечения, ${\displaystyle \alpha }$ — коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по сечению и зависящий от его формы. Величина

представляет собой угол сдвига.

Данной расчётной схемой моделируются железнодорожные рельсы, а также корабли (в первом приближении).

Упругое основание рассматривается как множество не связанных друг с другом пружинок.

Простейший метод расчёта основан на гипотезе Винклера: реакция упругого основания пропорциональна прогибу в точке и направлена навстречу ему:

${\displaystyle p=-k\cdot v,}$ (39)

где ${\displaystyle v}$ — прогиб, ${\displaystyle p}$ — реакция (на единицу длины балки), ${\displaystyle k}$ — коэффициент пропорциональности (называемый коэффициентом постели).

При этом основание считается двусторонним, то есть реакция возникает как при вдавливании балки в основание, так и при её отрыве от основания. Гипотеза Бернулли сохраняется.

Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании имеет вид:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left(EJ_{x}(z){\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right)+k(z)\cdot v=q(z).}$ (40)

где ${\displaystyle v(z)}$ — прогиб, ${\displaystyle EJ_{x}(z)}$ — изгибная жёсткость (могущая быть переменной по длине), ${\displaystyle k(z)}$ — переменный по длине коэффициент постели, ${\displaystyle q(z)}$ — распределённая нагрузка на балку.

При постоянной жёсткости и коэффициенте постели уравнение может быть записано в виде:

${\displaystyle EJ_{x}{\frac {d^{4}v}{dz^{4}}}+k\cdot v=q(z),}$ (41)

или

${\displaystyle {\frac {d^{4}v}{dz^{4}}}+4m^{4}\cdot v=q(z)}$ (42)

где обозначено

${\displaystyle 4m^{4}={\frac {k}{EJ_{x}}}.}$ (43)

Для балок, радиус кривизны оси которых ${\displaystyle \rho _{0}}$ соизмерим с высотой сечения ${\displaystyle h}$, то есть:

${\displaystyle {\frac {h}{\rho _{0}}}>0,2.}$ (44)

распределение напряжений по высоте отклоняется от линейного, а нейтральная линия не совпадает с осью сечения (которая проходит через центр тяжести сечения). Такая расчётная схема используется, например, для расчёта звеньев цепей и крюков подъёмных кранов.

Формула для распределения напряжений имеет вид:

${\displaystyle \sigma ={\frac {M}{F\cdot e}}\cdot {\frac {y}{R+y}},}$ (45)

где ${\displaystyle M}$ — изгибающий момент в сечении, ${\displaystyle R}$ — радиус нейтральной линии сечения, ${\displaystyle F}$ — площадь сечения, ${\displaystyle e=R_{0}-R}$ — эксцентриситет, ${\displaystyle y}$ — координата по высоте сечения, отсчитываемая от нейтральной линии.

Радиус нейтральной линии определяется по формуле:

${\displaystyle R=\int {\frac {\,dF}{u}}=\int \limits _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {b(u)\,du}{u}}.}$ (46)

Интеграл берётся по площади сечения, координата ${\displaystyle u}$ отсчитывается от центра кривизны. Справедливы также приближённые формулы:

${\displaystyle e={\frac {J_{x}}{R_{0}\cdot F}}.}$ (47)

${\displaystyle r_{0}=R_{0}-{\frac {J_{x}}{R_{0}\cdot F}}.}$ (48)

Для часто используемых сечений имеются аналитические формулы. Для прямоугольного сечения высотой ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle R={\frac {h}{\ln \displaystyle {\frac {R_{0}+{\frac {h}{2}}}{R_{0}-{\frac {h}{2}}}}}}={\frac {h}{\ln \displaystyle {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}},}$ (49)

где ${\displaystyle R_{1},R_{2}}$ — радиусы кривизны внутренней и наружной поверхности балки соответственно.

Для круглого сечения:

${\displaystyle R={\frac {R_{0}+{\sqrt {R_{0}^{2}-r^{2}}}}{2}},}$ (50)

где ${\displaystyle r}$ — радиус сечения.

В большинстве случаев прочность балки определяется по максимальным допускаемым напряжениям:

${\displaystyle \sigma _{max}<{\frac {\sigma _{T}}{n_{T}}},}$ (51)

где ${\displaystyle \sigma _{T}}$ — предел текучести материала балки, ${\displaystyle n_{T}}$ — коэффициент запаса по текучести. В случае хрупких материалов:

${\displaystyle \sigma _{max}<{\frac {\sigma _{b}}{n_{b}}},}$ (52)

где ${\displaystyle \sigma _{b}}$ — предел прочности материала балки, ${\displaystyle n_{b}}$ — коэффициент запаса по прочности.

В случае пластичных материалов эти формулы могут существенно занижать значение нагрузки, при котором балка теряет свою несущую способность. Фактически несущая способность теряется лишь в случае, если в каком-либо сечении весь материал переходит в пластическое состояние. Тогда в сечении могут возникать недопустимые перемещения (образуется так называемый пластический шарнир). Если принимать в качестве диаграммы растяжения-сжатия диаграмму Прандтля, то предельный изгибающий момент ${\displaystyle M_{pr}}$ для стержня прямоугольного сечения шириной ${\displaystyle b}$ и высотой ${\displaystyle h}$ выражается формулой:

${\displaystyle M_{pr}={\frac {1}{4}}bh^{2}\sigma _{T}.}$ (53)

Рассмотрим балку с плотностью материала ${\displaystyle \rho }$, площадью поперечного сечения ${\displaystyle A}$, изгибной жёсткостью ${\displaystyle EJ}$. Уравнение собственных колебаний имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left(EJ{\frac {\partial ^{2}x}{\partial z^{2}}}\right)+m_{0}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}=0,}$ (54)

где ${\displaystyle x(z,t)}$ — поперечное перемещение, ${\displaystyle m_{0}=\rho A}$ — масса единицы длины стержня. Решение ищется в виде:

${\displaystyle x(z,t)=u(z)\cos(pt+\phi ).}$ (55)

Подставляя, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left(EJ{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right)-m_{0}p^{2}u=0.}$ (56)

Для балки постоянного сечения оно преобразуется к виду:

${\displaystyle {\frac {d^{4}u}{dz^{4}}}-\alpha ^{4}u=0,}$ (57)

где

${\displaystyle \alpha ^{4}={\frac {p^{2}m_{0}}{EJ}}.}$ (58)

Удобно представить решение с использованием функций Крылова:

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{4}C_{i}K_{i}(\alpha z)}$ (59)

где функции Крылова:

${\displaystyle K_{1}(\alpha z)={\frac {1}{2}}(\operatorname {ch} \alpha z+\cos \alpha z),}$ ${\displaystyle K_{2}(\alpha z)={\frac {1}{2}}(\operatorname {sh} \alpha z+\sin \alpha z),}$ ${\displaystyle K_{3}(\alpha z)={\frac {1}{2}}(\operatorname {ch} \alpha z-\cos \alpha z),}$ ${\displaystyle K_{4}(\alpha z)={\frac {1}{2}}(\operatorname {sh} \alpha z-\sin \alpha z),}$ (60)

а ${\displaystyle C_{i}}$ — постоянные.

Функции Крылова связаны зависимостями:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}K_{1}(\alpha z)=\alpha K_{4}(\alpha z),}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}K_{2}(\alpha z)=\alpha K_{1}(\alpha z),}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}K_{3}(\alpha z)=\alpha K_{2}(\alpha z),}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}K_{4}(\alpha z)=\alpha K_{3}(\alpha z).}$ (61)

Эти зависимости существенно упрощают запись граничных условий для балок:

${\displaystyle C_{1}=u_{z=0};C_{2}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {du}{dz}}\right)_{z=0};C_{3}={\frac {1}{EJ\alpha ^{2}}}M_{z=0};C_{4}={\frac {1}{EJ\alpha ^{3}}}Q_{z=0}.}$ (62)

На каждом конце балки задаются два граничных условия.

Уравнение собственных колебаний имеет бесконечно много решений. При этом, практический интерес, как правило, представляют только первые несколько из них, соответствующие низшим собственным частотам.

Общая формула для собственной частоты имеет вид:

${\displaystyle p_{k}=\lambda _{k}^{2}{\sqrt {\frac {EJ}{m_{0}l^{4}}}}}$ (63)

Для однопролётных балок:

Закрепление		${\displaystyle \lambda _{k}}$
Левый конец	Правый конец
Заделка	Заделка	${\displaystyle \lambda _{1}=4,73;\;\;}$${\displaystyle \lambda _{2}=7,853;}$
Свободный	Свободный	${\displaystyle \lambda _{1}=0;\;\;}$${\displaystyle \lambda _{2}=0;}$ при k>2 ${\displaystyle \lambda _{k}={\frac {2k+1}{2}}\pi ;}$
Заделка	Шарнирное	${\displaystyle \lambda _{1}=3,927;\;\;}$${\displaystyle \lambda _{2}=7,069;}$ при k>2 ${\displaystyle \lambda _{k}={\frac {4k+1}{4}}\pi ;}$
Шарнирное	Шарнирное	${\displaystyle \lambda _{k}=k\pi }$
Заделка	Свободный	${\displaystyle \lambda _{1}=1,875;\;\;}$${\displaystyle \lambda _{2}=4,694;}$ при k>2 ${\displaystyle \lambda _{k}={\frac {2k-1}{2}}\pi ;}$